Questão 27. Mostre que todo corpo algebricamente fechado é infinito.

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte afirmação: “todo corpo algebricamente fechado é infinito”.
Informações relevantes dadas (e implicadas):
  • Temos um corpo K.
  • A hipótese é que K é algebricamente fechado, isto é, todo polinômio não-constante com coeficientes em K tem pelo menos uma raiz em K.
  • O que precisamos mostrar é que K não pode ter número finito de elementos (ou seja, K é infinito).

Passo 2

Definição-chave (vou explicar devagar): ser algebricamente fechado significa que, para qualquer polinômio não-constante f(x) com coeficientes em K, existe a\in K tal que f(a)=0. Aqui, por “polinômio”, entendemos expressões da forma
f(x)=c_n x^n + c_{n-1}x^{n-1}+\cdots + c_1 x + c_0
onde c_i\in K e c_n\neq 0. O grau de f é n. Um “corpo finito” significa que o conjunto K tem um número finito de elementos; denote esse número por |K|.

Passo 3

Estratégia (curta): vamos provar por contradição. Suponha que K seja algebricamente fechado e, ao mesmo tempo, finito. Vou construir um polinômio não-constante com coeficientes em K que NÃO tem raiz em K. Isso contradiz a definição de corpo algebricamente fechado, então a suposição de finitude estará errada e K deve ser infinito.

Passo 4

Construa o polinômio explícito. Como K é finito, podemos listar todos os seus elementos; escreva o produto sobre todos eles. Defina
P(x)=\prod_{a\in K}(x-a)-1.
Expliquei cada parte: \prod_{a\in K}(x-a) significa multiplicar, para cada elemento a de K, o fator (x-a). Cada fator (x-a) pertence a K[x] (polinômios com coeficientes em K), e o produto finito também pertence a K[x]. Portanto P(x)\in K[x]. O grau de \prod_{a\in K}(x-a) é |K|, então P(x) é um polinômio de grau |K| (assim, não é constante).

Passo 5

Mostre que P não tem raiz em K. Tome qualquer b\in K. Ao avaliar o produto em x=b, um dos fatores será (b-b)=0, portanto
\prod_{a\in K}(b-a)=0.
Logo
P(b)=\prod_{a\in K}(b-a)-1=0-1=-1.
Mas -1 é o inverso aditivo de 1 em K, e em todo corpo temos 1\neq 0, logo -1\neq 0. Assim P(b)\neq 0 para todo b\in K. Concluímos que P(x) não tem nenhuma raiz em K.

Passo 6

Contradição com a hipótese de que K é algebricamente fechado. Pelo passo anterior, P(x) é um polinômio não-constante em K[x] que não possui raiz em K. Isso contradiz a definição de corpo algebricamente fechado. Portanto a suposição de que K é finito é impossível.

Passo 7

Conclusão final (e um lembrete amigo): assim, qualquer corpo algebricamente fechado não pode ser finito — ou seja, deve ser infinito. Um exemplo concreto para fixar a ideia: se K=\mathbb{F}_2 (o corpo com dois elementos), então
P(x)=(x-0)(x-1)-1 = x(x-1)-1 = x^2-x-1
e checando x=0 e x=1 vemos que P(0)= -1\neq 0 e P(1)=-1\neq 0, então P não tem raiz em \mathbb{F}_2 — ilustrando que um corpo finito não pode ser algebricamente fechado.

Resposta

Todo corpo algebricamente fechado é infinito.

Exercícios relacionados