Questão 27. Mostre que todo corpo algebricamente fechado é infinito.
Passo 1
O enunciado pede para provar a seguinte afirmação: “todo corpo algebricamente fechado é infinito”.
Informações relevantes dadas (e implicadas):
Informações relevantes dadas (e implicadas):
- Temos um corpo
. - A hipótese é que
é algebricamente fechado, isto é, todo polinômio não-constante com coeficientes em tem pelo menos uma raiz em . - O que precisamos mostrar é que
não pode ter número finito de elementos (ou seja, é infinito).
Passo 2
Definição-chave (vou explicar devagar): ser algebricamente fechado significa que, para qualquer polinômio não-constante
com coeficientes em
, existe
tal que
. Aqui, por “polinômio”, entendemos expressões da forma
onde
e
. O grau de
é
. Um “corpo finito” significa que o conjunto
tem um número finito de elementos; denote esse número por
.
Passo 3
Estratégia (curta): vamos provar por contradição. Suponha que
seja algebricamente fechado e, ao mesmo tempo, finito. Vou construir um polinômio não-constante com coeficientes em
que NÃO tem raiz em
. Isso contradiz a definição de corpo algebricamente fechado, então a suposição de finitude estará errada e
deve ser infinito.
Passo 4
Construa o polinômio explícito. Como
é finito, podemos listar todos os seus elementos; escreva o produto sobre todos eles. Defina
Expliquei cada parte:
significa multiplicar, para cada elemento
de
, o fator
. Cada fator
pertence a
(polinômios com coeficientes em
), e o produto finito também pertence a
. Portanto
. O grau de
é
, então
é um polinômio de grau
(assim, não é constante).
Passo 5
Mostre que
não tem raiz em
. Tome qualquer
. Ao avaliar o produto em
, um dos fatores será
, portanto
Logo
Mas
é o inverso aditivo de
em
, e em todo corpo temos
, logo
. Assim
para todo
. Concluímos que
não tem nenhuma raiz em
.
Passo 6
Contradição com a hipótese de que
é algebricamente fechado. Pelo passo anterior,
é um polinômio não-constante em
que não possui raiz em
. Isso contradiz a definição de corpo algebricamente fechado. Portanto a suposição de que
é finito é impossível.
Passo 7
Conclusão final (e um lembrete amigo): assim, qualquer corpo algebricamente fechado não pode ser finito — ou seja, deve ser infinito. Um exemplo concreto para fixar a ideia: se
(o corpo com dois elementos), então
e checando
e
vemos que
e
, então
não tem raiz em
— ilustrando que um corpo finito não pode ser algebricamente fechado.
Resposta
Todo corpo algebricamente fechado é infinito.