Questão 26: Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Definamos a adição e a
multiplicação por escalar em vee por
(x1, x2) oplus(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2) alpha(x1, x2)=(alpha x1, x2)

Passo 1

O enunciado define V=(x1,x2)mid x1,x2inR com a adição usual
(x1,x2)oplus(y1,y2)=(x1+y1,;x2+y2)
e a multiplicação por escalar “anômala”
alpha,(x1,x2)=(alpha x1,;x2)
A tarefa é verificar se l(V,oplus,cdotr) satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Verificamos primeiro se (V,oplus) é um grupo abeliano.
  • Elemento neutro: (0,0), pois
(x1,x2)oplus(0,0)=(x1+0,;x2+0)=(x1,x2)
  • Inverso de (x1,x2) é ( -x1,-x2), já que
(x1,x2)oplus(-x1,-x2)=(0,0)
Associatividade e comutatividade seguem da adição em R^2. Logo, (V,oplus) é grupo abeliano.

Passo 3

Verificamos o axioma 1cdot v = v. Para todo v=(x1,x2)in V
1cdot(x1,x2)=(1cdot x1,;x2)=(x1,x2),
portanto esse axioma está satisfeito.

Passo 4

Verificamos o axioma 0cdot v = 0, onde 0=(0,0). Para v=(x1,x2)
0cdot(x1,x2)=(0cdot x1,;x2)=(0,;x2)
Para ser o vetor nulo (0,0), precisaríamos ter x2=0 para todo x2, o que não ocorre em geral. Logo
0cdot vneq0,
falhando esse axioma essencial.

Resposta

V não é um espaço vetorial sobre R, pois a multiplicação por zero escalar não produz o vetor nulo em geral.

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