Questão 26: Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Definamos a adição e a
multiplicação por escalar em
por
multiplicação por escalar em
Passo 1
O enunciado define
com a adição usual
e a multiplicação por escalar “anômala”
A tarefa é verificar se
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Verificamos primeiro se
é um grupo abeliano.
- Elemento neutro:
, pois
- Inverso de
é , já que
Associatividade e comutatividade seguem da adição em
. Logo,
é grupo abeliano.
Passo 3
Verificamos o axioma
. Para todo
portanto esse axioma está satisfeito.
Passo 4
Verificamos o axioma
, onde
. Para
Para ser o vetor nulo
, precisaríamos ter
para todo
, o que não ocorre em geral. Logo
falhando esse axioma essencial.