Seja T: P2 longrightarrow P2 um operador linear tal que T(a x^2+b x+c)=b x^2+(6 a-b) x+4 c.
(a) Determine os autovalores e os autovetores de T.
(b) Verifique se T é diagonalizável. Se sim, encontre uma matriz diagonal associada a T. Justifique.

Passo 1

O enunciado define um operador linear
;T:P2to P2,
T(a x^2+b x+c)=b x^2+(6a-b)x+4c
Precisamos achar (a) os autovalores e autovetores de T e (b) verificar se T é diagonalizável, construindo uma matriz diagonal associada.

Passo 2

Escolhemos a base canônica
;B=x^2,,x,,1.
Vamos calcular a matriz M de T em B.
  • Para x^2 ( a=1,b=0,c=0) temos T(x^2)=0cdot x^2+(6cdot1-0)x+0=6x=0cdot x^2+6cdot x+0cdot1
  • Para x ( a=0,b=1,c=0) temos T(x)=1cdot x^2+(6cdot0-1)x+0=x^2-x=1cdot x^2-1cdot x+0cdot1
  • Para 1 ( a=0,b=0,c=1) temos T(1)=0cdot x^2+(6cdot0-0)x+4cdot1=4=0cdot x^2+0cdot x+4cdot1
Logo, em coordenadas na base B,
M= 0 & 1 & 0 6 & -1 &0 0 & 0 &4

Passo 3

Calculamos o polinômio característico
det(M-lambda I) =det -lambda & 1 & 0 6 & -1-lambda &0 0 & 0 &4-lambda =(4-lambda)det-lambda&16&-1-lambda
Temos
det-lambda&16&-1-lambda =lambda(lambda+1)-6 =lambda^2+lambda-6 =(lambda+3)(lambda-2)
Portanto, os autovalores são
;lambda1=4,;lambda2=-3,;lambda3=2.

Passo 4

Para cada lambda resolvemos (M-lambda I)v=0:
  • lambda=4: M-4I=-4&1&06&-5&00&0&0 implies v1=0,;v2=0,;v3 livre Escolhendo v3=1, o autovetor é
    ;(0,0,1)sim1.
  • lambda=-3: M+3I=3&1&06&2&00&0&7 implies v2=-3v1,;v3=0 Tomando v1=1, obtemos (1,-3,0)sim x^2-3x.
  • lambda=2: M-2I=-2&1&06&-3&00&0&2 implies v2=2v1,;v3=0 Com v1=1 vem (1,2,0)sim x^2+2x.

Passo 5

Como surgiram três autovalores distintos em um espaço de dimensão 3, obtemos três autovetores linearmente independentes. Logo, T é diagonalizável. Na base de autovetores
,1,;x^2-3x,;x^2+2x a matriz de T é diagonal
diag(4,,-3,,2)

Resposta

(a) Os autovalores e autovetores de T são:
lambda=4 com v=1;
lambda=-3 com v=x^2-3x;
lambda=2 com v=x^2+2x.
(b) T é diagonalizável (há 3 autovetores LI). A matriz diagonal associada, na base de autovetores indicada, é
diag(4,-3,2)

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