Seja um operador linear tal que .
(a) Determine os autovalores e os autovetores de .
(b) Verifique se é diagonalizável. Se sim, encontre uma matriz diagonal associada a . Justifique.
Passo 1
O enunciado define um operador linear ,
Precisamos achar (a) os autovalores e autovetores de e (b) verificar se é diagonalizável, construindo uma matriz diagonal associada.
Passo 2
Escolhemos a base canônica .
Vamos calcular a matriz de em .
lambda=2: M-2I=-2&1&06&-3&00&0&2 implies v2=2v1,;v3=0 Com v1=1 vem (1,2,0)sim x^2+2x.
Passo 5
Como surgiram três autovalores distintos em um espaço de dimensão 3, obtemos três autovetores linearmente independentes. Logo, T é diagonalizável. Na base de autovetores ,1,;x^2-3x,;x^2+2x a matriz de T é diagonal
diag(4,,-3,,2)
Resposta
(a) Os autovalores e autovetores de T são: lambda=4 com v=1; lambda=-3 com v=x^2-3x; lambda=2 com v=x^2+2x.
(b) T é diagonalizável (há 3 autovetores LI). A matriz diagonal associada, na base de autovetores indicada, é