Para quais valores de as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
Passo 1
O enunciado pede para determinar, em função de a, quando as matrizes
A = 1 & 10 & a e B = 1 & a0 & 1
são diagonalizáveis. Vamos usar o critério de diagonalização para matrizes 2times2: uma matriz é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos seus espaços próprios (autovetores) for igual a 2, o que ocorre automaticamente se os autovalores forem distintos.
Passo 2
Analisando A, o polinômio característico é
det(A - lambda I) = (1-lambda)(a-lambda),
Logo os autovalores são lambda1 = 1 e lambda2 = a.
Se a neq 1, os autovalores são distintos e já garantem dois autovetores linearmente independentes, logo A é diagonalizável.
Se a = 1, o autovalor 1 tem multiplicidade algébrica 2. O espaço próprio é dado por ker(A-I), isto é
ker0 & 10 & 0 =(x,y)mid y=0,
que tem dimensão 1. Como a dimensão do espaço próprio é menor que 2, A não é diagonalizável para a=1.
Passo 3
Analisando B, o polinômio característico é
det(B - lambda I) =(1-lambda)^2,
ou seja, o único autovalor é lambda=1 com multiplicidade 2. O espaço próprio é
ker(B-I) =ker0 & a0 & 0 =(x,y)mid a,y=0
Se aneq 0, então y=0 e o espaço próprio tem dimensão 1, insuficiente para diagonalizar B.
Se a=0, então não há restrição sobre y e ker(B-I)=R^2, dimensão 2, o que significa que B é a matriz identidade e, portanto, já é diagonal (diagonalizável).
Resposta
Para A: diagonalizável se, e somente se, a neq 1.
Para B: diagonalizável se, e somente se, a = 0.