Questão 30: Determine quais dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
W subset C[-1,1] tal que as funções em W satisfazem f(-1)=f(1)

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial de todas as funções contínuas em [-1,1], denotado por C[-1,1], e o subconjunto
W = lfin C[-1,1]mid f(-1)=f(1)r
Para verificar que W é um subespaço vetorial de C[-1,1], precisamos justificar que:
  1. W não é vazio (contém a função zero).
  2. Para quaisquer f,gin W, a soma f+gin W.
  3. Para qualquer escalar alphainR e fin W, o produto alpha fin W.

Passo 2

Mostramos que a função nula 0(x)=0 pertence a W, pois
0(-1)=0=0(1),
logo 0in W. Assim, W é não vazio.

Passo 3

Sejam f,gin W. Então
f(-1)=f(1) e g(-1)=g(1)
Logo,
(f+g)(-1)=f(-1)+g(-1)=f(1)+g(1)=(f+g)(1),
o que mostra que f+g satisfaz a condição e, portanto, f+gin W.

Passo 4

Seja alphainR e fin W. Então f(-1)=f(1) implica
(alpha f)(-1)=alpha,f(-1)=alpha,f(1)=(alpha f)(1),
logo alpha fin W.

Resposta

O conjunto W=fin C[-1,1]mid f(-1)=f(1) satisfaz todas as condições de subespaço vetorial e, portanto, é de fato um subespaço de C[-1,1].

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