Questão 30: Determine quais dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
tal que as funções em
satisfazem
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial de todas as funções contínuas em
, denotado por
, e o subconjunto
Para verificar que
é um subespaço vetorial de
, precisamos justificar que:
-
não é vazio (contém a função zero). - Para quaisquer
, a soma . - Para qualquer escalar
e , o produto .
Passo 2
Mostramos que a função nula
pertence a
, pois
logo
. Assim,
é não vazio.
Passo 3
Sejam
. Então
Logo,
o que mostra que
satisfaz a condição e, portanto,
.
Passo 4
Seja
e
. Então
implica
logo
.
Resposta
O conjunto
satisfaz todas as condições de subespaço vetorial e, portanto, é de fato um subespaço de
.