Prove cada identidade, admitindo que a superfície
e a região sólida
satisfaçam as condições do Teorema da Divergência e que as funções escalares e componentes do campo vetorial tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
;
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a identidade
Informações dadas e hipóteses úteis:
-
é uma superfície fechada que é fronteira da região sólida . - As funções escalares (componentes do campo) têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas em
(isto garante a validade de permutar derivadas mistas). - Não há mais hipóteses escondidas: podemos aplicar o Teorema da Divergência (Gauss) a campos vetoriais com as hipóteses dadas.
Passo 2
Lembrete do Teorema da Divergência (Gauss), que vamos usar: para qualquer campo vetorial
com derivadas parciais contínuas em
,
onde
é o elemento de superfície orientado (vetor normal externo vezes a área). Aqui explico as notações:
é a divergência de
e
é o produto escalar entre o campo e o elemento de superfície orientado.
Passo 3
Defina o campo vetorial
em componentes para trabalhar explicitamente com derivadas:
onde
são funções escalares de
com derivadas parciais de segunda ordem contínuas. A operação
(ou
) é o rotacional (curl) do campo.
Passo 4
Escrevemos a fórmula do rotacional em componentes (esta é uma definição padrão; explicando cada termo:
é
,
é
, etc.):
Aqui
,
, etc.
Passo 5
Agora computamos a divergência do rotacional, isto é
. A divergência de um vetor
é
(derivadas parciais das componentes em relação às variáveis correspondentes). Aplicando isso ao vetor do rotacional:
onde, por exemplo,
.]
Passo 6
Usamos a hipótese de continuidade das segundas derivadas (teorema de Clairaut / Schwarz): derivadas mistas são iguais, por exemplo
,
,
. Substituindo essas igualdades no somatório do passo anterior, os termos se cancelam em pares:
Portanto
Passo 7
Agora aplicamos o Teorema da Divergência ao campo
. Pelas hipóteses,
satisfaz as condições do teorema, então
Mas do Passo 6 sabemos que o integrando
é identicamente zero em
. Logo a integral tripla é zero:
Passo 8
Conclusão: a integral de superfície do rotacional sobre a superfície fechada
é zero. Isso é consequência direta da identidade diferencial
(válida sob as hipóteses de derivadas mistas contínuas) e do Teorema da Divergência.