Prove cada identidade, admitindo que a superfície S e a região sólida E satisfaçam as condições do Teorema da Divergência e que as funções escalares e componentes do campo vetorial tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
\iint_{S} \operatorname{rot} \Phi \bullet d \Sigma=0;

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a identidade
\iint_{S} \operatorname{rot}\Phi\bullet d\Sigma=0.
Informações dadas e hipóteses úteis:
  • S é uma superfície fechada que é fronteira da região sólida E.
  • As funções escalares (componentes do campo) têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas em E (isto garante a validade de permutar derivadas mistas).
  • Não há mais hipóteses escondidas: podemos aplicar o Teorema da Divergência (Gauss) a campos vetoriais com as hipóteses dadas.

Passo 2

Lembrete do Teorema da Divergência (Gauss), que vamos usar: para qualquer campo vetorial \mathbf{F} com derivadas parciais contínuas em E,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\Sigma}=\iiint_{E}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde d\boldsymbol{\Sigma}=\mathbf{n}\,dS é o elemento de superfície orientado (vetor normal externo vezes a área). Aqui explico as notações: \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F} e \mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\Sigma} é o produto escalar entre o campo e o elemento de superfície orientado.

Passo 3

Defina o campo vetorial \Phi em componentes para trabalhar explicitamente com derivadas:
\Phi=(P,Q,R),
onde P,Q,R são funções escalares de (x,y,z) com derivadas parciais de segunda ordem contínuas. A operação \operatorname{rot}\Phi (ou \nabla\times\Phi) é o rotacional (curl) do campo.

Passo 4

Escrevemos a fórmula do rotacional em componentes (esta é uma definição padrão; explicando cada termo: P_z é \partial P/\partial z, Q_x é \partial Q/\partial x, etc.):
\operatorname{rot}\Phi=\nabla\times\Phi=\bigl(R_y-Q_z,\;P_z-R_x,\;Q_x-P_y\bigr).
Aqui R_y=\partial R/\partial y, Q_z=\partial Q/\partial z, etc.

Passo 5

Agora computamos a divergência do rotacional, isto é \nabla\cdot(\nabla\times\Phi). A divergência de um vetor (A,B,C) é A_x+B_y+C_z (derivadas parciais das componentes em relação às variáveis correspondentes). Aplicando isso ao vetor do rotacional:
\begin{aligned} \nabla\cdot(\nabla\times\Phi) &=\frac{\partial}{\partial x}(R_y-Q_z)+\frac{\partial}{\partial y}(P_z-R_x)+\frac{\partial}{\partial z}(Q_x-P_y)\\[4pt] &=R_{yx}-Q_{zx}+P_{zy}-R_{xy}+Q_{xz}-P_{yz}, \end{aligned}
onde, por exemplo, R_{yx}=\dfrac{\partial^2 R}{\partial y\partial x}.]

Passo 6

Usamos a hipótese de continuidade das segundas derivadas (teorema de Clairaut / Schwarz): derivadas mistas são iguais, por exemplo R_{yx}=R_{xy}, Q_{xz}=Q_{zx}, P_{zy}=P_{yz}. Substituindo essas igualdades no somatório do passo anterior, os termos se cancelam em pares:
R_{yx}-R_{xy}=0,\qquad Q_{xz}-Q_{zx}=0,\qquad P_{zy}-P_{yz}=0.
Portanto
\nabla\cdot(\nabla\times\Phi)=0\quad\text{em todo ponto de }E.

Passo 7

Agora aplicamos o Teorema da Divergência ao campo \mathbf{F}=\nabla\times\Phi. Pelas hipóteses, \mathbf{F} satisfaz as condições do teorema, então
\iint_{S}\operatorname{rot}\Phi\cdot d\boldsymbol{\Sigma} =\iiint_{E}\nabla\cdot(\nabla\times\Phi)\,dV.
Mas do Passo 6 sabemos que o integrando \nabla\cdot(\nabla\times\Phi) é identicamente zero em E. Logo a integral tripla é zero:
\iiint_{E}\nabla\cdot(\nabla\times\Phi)\,dV=\iiint_{E}0\,dV=0.

Passo 8

Conclusão: a integral de superfície do rotacional sobre a superfície fechada S é zero. Isso é consequência direta da identidade diferencial \nabla\cdot(\nabla\times\Phi)=0 (válida sob as hipóteses de derivadas mistas contínuas) e do Teorema da Divergência.

Resposta

\displaystyle \iint_{S} \operatorname{rot}\Phi\cdot d\boldsymbol{\Sigma}=0

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