Questão 27: Para cada um dos espaços vetoriais abaixo, com operações usuais, descreva o vetor nulo.
C[a, b]

Passo 1

O enunciado pede para identificar, no espaço vetorial C[a,b] (conjunto de todas as funções contínuas de [a,b] em R), qual é o vetor nulo, isto é, a função que, somada a qualquer outra, não altera essa outra.

Passo 2

Em C[a,b] as operações usuais são: dado f,gin C[a,b], a soma (f+g) é a função definida por (f+g)(x)=f(x)+g(x), e a multiplicação por escalar alphainR é (alpha f)(x)=alpha,f(x).

Passo 3

Por definição de vetor nulo 0 em qualquer espaço vetorial, deve valer
f+0=f
para toda fin C[a,b]. Ou seja, buscamos uma função zin C[a,b] tal que
(f+z)(x)=f(x)forall xin[a,b]

Passo 4

Se definirmos z(x)=0 para todo xin[a,b], então
(f+z)(x)=f(x)+z(x)=f(x)+0=f(x),
o que satisfaz a condição de vetor nulo.

Resposta

O vetor nulo em C[a,b] é a função
z:[a,b]toR, z(x)=0forall xin[a,b]

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