Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para ortogonalizar a base beta=1-x-x^2, x+3 x^2, x^2+x^3 }
usando o produto interno <p,q> =p(-1) cdot q(-1)+p(0) cdot q(0)+p(1) cdot q(1)+p(2) cdot q(2).

Passo 1

O enunciado pede para ortogonalizar a base
beta=p1,p2,p3 em P3, onde
p1(x)=1 - x - x^2, p2(x)=x + 3x^2, p3(x)=x^2+x^3,
usando o produto interno
lang<= p,qrang<= = p(-1),q(-1) + p(0),q(0) + p(1),q(1) + p(2),q(2)
Para isso vamos aplicar o método de Gram–Schmidt, gerando vetores ortogonais u1,u2,u3.

Passo 2

Definimos
u1 = p1 = 1 - x - x^2
Calculamos seus valores em -1,0,1,2:
p1(-1)=1-(-1)-1=1, p1(0)=1, p1(1)=-1, p1(2)=-5
Logo
lang<= u1,u1rang<= = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 + (-5)^2 = 28

Passo 3

Para p2=x+3x^2, avaliamos em -1,0,1,2:
p2(-1)=2, p2(0)=0, p2(1)=4, p2(2)=14
Então
lang<= p2,u1rang<= = 2cdot1 + 0cdot1 + 4cdot(-1) + 14cdot(-5) = -72
O coeficiente da projeção é -7228=-tfrac187, e
u2 = p2 - lang<= p2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = x+3x^2 + 187(1 - x - x^2) = 18 - 11x + 3x^27
Eliminando o denominador podemos tomar
u2 = 18 - 11x + 3x^2

Passo 4

Para p3=x^2+x^3, primeiro avaliamos em -1,0,1,2:
p3(-1)=0, p3(0)=0, p3(1)=2, p3(2)=12
Usando u1 já temos
lang<= p3,u1rang<= = 0cdot1 + 0cdot1 + 2cdot(-1) + 12cdot(-5) = -62
Para u2(x)=18-11x+3x^2, avaliamos
u2(-1)=32,;u2(0)=18,;u2(1)=10,;u2(2)=8,
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lang<= p3,u2rang<= = 0cdot32 + 0cdot18 + 2cdot10 + 12cdot8 = 116,
e
lang<= u2,u2rang<= = 32^2+18^2+10^2+8^2 = 1512
Assim
u3 = p3 - lang<= p3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 - lang<= p3,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=,u2 = p3 + tfrac3114,u1 - tfrac29378,u2
Multiplicando tudo por 378 para eliminar frações, obtemos um representante ortogonal simples:
u3 = 315 - 518x - 546x^2 + 378x^3

Resposta

Os vetores ortogonais encontrados são
u1 = 1 - x - x^2,
u2 = 18 - 11x + 3x^2,
u3 = 315 - 518x - 546x^2 + 378x^3

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