Questão 27:Considere d / V conjunto das matrizesA de ordem2 de modo que A z=Q com z=[11]. W é um subespaço vetorial? Explique.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = Ain M2(R)mid A,z = q,
onde zinR^2 e qinR^2 são vetores fixos (no enunciado z=[1,1]^T e q é dado). Queremos saber se W é um subespaço vetorial de M2(R). Para isso, usamos a definição de subespaço: deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o elemento nulo de M2(R), ou seja, a matriz zero O, pertence a W. Como
O,z = 0inR^2,
termos Oin W só se q=0. Se qneq 0, o zero não está em W, e portanto W já falha o primeiro critério de subespaço.

Passo 3

Mesmo que q=0, conferimos o fechamento sob soma. Se A,Bin W então
A,z = q e B,z = q
Logo
(A+B),z = A,z + B,z = q + q = 2q
Para A+B pertencer a W precisaríamos de (A+B),z = q, o que só ocorre se q=0.

Passo 4

Finalmente, conferimos o fechamento sob multiplicação escalar. Se Ain W e lambdainR, então
(lambda A),z = lambda,(A,z) = lambda,q
Para lambda A estar em W precisamos de lambda q = q, ou seja, lambda=1 ou q=0. Logo, salvo o caso degenerado q=0, não há fechamento escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de M2(R), a menos que q=0. Se qneq0, falham ao menos um dos critérios (não contém o zero e não é fechado por soma ou por escalar).

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