(Questão 03)[2,0 pontos] Obtenha a equação geral do plano determinado pelas retas r: x-1=y=2 z e s: x-1=y=z.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém as retas
r:;x-1=y=2z
e
s:;x-1=y=z
Estamos em Geometria Analítica no espaço. Para encontrar o plano, vamos:
  1. Extrair uma reta-base (um ponto) e o vetor diretor de cada reta;
  2. Calcular o vetor normal ao plano como produto vetorial dos dois vetores diretores;
  3. Usar o ponto comum e o normal para escrever a equação geral do plano.

Passo 2

Passo 2.1: Parametrizamos a reta r. Seja t=x-1=y=2z. Então
x=1+t, y=t, z=tfract2
Um ponto de r é, por exemplo, para t=0:
P0=(1,0,0)
O vetor diretor de r é
vec vr=(1,1,tfrac12)

Passo 3

Passo 3.1: Parametrizamos a reta s. Seja u=x-1=y=z. Então
x=1+u, y=u, z=u
Um ponto de s é, por exemplo, para u=0:
P0'=(1,0,0)
Note que P0'=P0, ou seja, as duas retas passam por (1,0,0).
O vetor diretor de s é
vec vs=(1,1,1)

Passo 4

Calculamos o vetor normal vec n do plano via o produto vetorial
vec n ;=;vec vrtimesvec vs = i & j & k 1 & 1 & tfrac12 1 & 1 & 1 =l(1cdot1-tfrac12cdot1r), i -l(1cdot1-tfrac12cdot1r), j +l(1cdot1-1cdot1r), k =l(tfrac12,,-tfrac12,,0r)
Podemos multiplicar por 2 para simplificar e obter
vec n=(1,-1,0)

Passo 5

A equação geral do plano com normal vec n=(A,B,C) que passa por (x0,y0,z0) é
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Aqui A=1, B=-1, C=0 e (x0,y0,z0)=(1,0,0). Logo
1,(x-1)+(-1),(y-0)+0,(z-0)=0
implies x-1-y=0
implies x - y - 1 = 0

Resposta

A equação geral do plano é
x - y - 1 = 0

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