Questão 27
Uma empresa está organizando equipes para três projetos diferentes: Tecnologia, Marketing e Design. Cada funcionário escolhe previamente em qual projeto deseja trabalhar. A empresa precisa dividir os funcionários de modo que cada equipe tenha o mesmo número de funcionários e que cada equipe contenha apenas funcionários de um único projeto. Sabendo que há 36 funcionários inscritos para Tecnologia, 48 funcionários inscritos para Marketing e 72 funcionários inscritos para Design, marque a alternativa que indica o número mínimo de equipes necessário para cumprir essa tarefa.
(A) 11.
(B) 13.
(C) 12.
(D) 14.
(A) 11.
(B) 13.
(C) 12.
(D) 14.
Passo 1
O enunciado pede o número mínimo de equipes necessárias, sabendo que:
- Há
funcionários inscritos para Tecnologia. - Há
funcionários inscritos para Marketing. - Há
funcionários inscritos para Design.
As condições são: cada equipe contém apenas funcionários de um único projeto e todas as equipes têm o mesmo número de funcionários. A tarefa é encontrar o menor número total de equipes possível que atenda essas condições.
Passo 2
Entendendo a regra de divisão: seja
o número de funcionários em cada equipe (mesmo para todas as equipes). Então, para cada projeto:
- o número de equipes de Tecnologia será
, - o número de equipes de Marketing será
, - o número de equipes de Design será
.
Esses quocientes devem ser números inteiros, pois não podemos ter uma equipe com fração de pessoa. Portanto,
precisa ser um divisor comum de
.
O número total de equipes será
Para minimizar o número total de equipes
, temos que maximizar
sujeito à condição de que
seja divisor comum de
.
Passo 3
Definição e ideia chave: o maior valor possível de
que divide simultaneamente
é o máximo divisor comum (MDC, também chamado gcd). Se encontrarmos
, esse será o maior
permitido e, consequentemente, dará o menor número de equipes.
Explicando o conceito de MDC de forma simples: o MDC de vários números é o maior inteiro que divide todos eles. Uma forma prática de calcular o MDC é fatorar cada número em primos e tomar, para cada primo, a menor potência presente nas três fatorações.
Passo 4
Vamos fatorar os números em primos (isso é mecânica simples e confiável):
Para obter o MDC tomamos, para cada primo, o menor expoente entre as três fatorações:
- para o primo
: expoentes são → mínimo é ; - para o primo
: expoentes são → mínimo é .
Portanto
Passo 5
Logo, o maior tamanho de equipe possível é
. Isso maximiza
e minimiza o número total de equipes. Agora calculamos o número total de equipes com
:
Para conferir rapidamente: com equipes de tamanho
teremos
equipes de Tecnologia,
de Marketing e
de Design; total
, consistente com o cálculo.
Passo 6
Conclusão e verificação final: não existe
que divida todos os três números simultaneamente, pois
é o
. Assim
é realmente o número mínimo de equipes possível sob as condições dadas.
Resposta
(B)