Questão 27

Uma empresa está organizando equipes para três projetos diferentes: Tecnologia, Marketing e Design. Cada funcionário escolhe previamente em qual projeto deseja trabalhar. A empresa precisa dividir os funcionários de modo que cada equipe tenha o mesmo número de funcionários e que cada equipe contenha apenas funcionários de um único projeto. Sabendo que há 36 funcionários inscritos para Tecnologia, 48 funcionários inscritos para Marketing e 72 funcionários inscritos para Design, marque a alternativa que indica o número mínimo de equipes necessário para cumprir essa tarefa.
(A) 11.
(B) 13.
(C) 12.
(D) 14.

Passo 1

O enunciado pede o número mínimo de equipes necessárias, sabendo que:
  • \;36\; funcionários inscritos para Tecnologia.
  • \;48\; funcionários inscritos para Marketing.
  • \;72\; funcionários inscritos para Design.
    As condições são: cada equipe contém apenas funcionários de um único projeto e todas as equipes têm o mesmo número de funcionários. A tarefa é encontrar o menor número total de equipes possível que atenda essas condições.

Passo 2

Entendendo a regra de divisão: seja \;s\; o número de funcionários em cada equipe (mesmo para todas as equipes). Então, para cada projeto:
  • o número de equipes de Tecnologia será \;36/s\;,
  • o número de equipes de Marketing será \;48/s\;,
  • o número de equipes de Design será \;72/s\;.
Esses quocientes devem ser números inteiros, pois não podemos ter uma equipe com fração de pessoa. Portanto, \;s\; precisa ser um divisor comum de \;36,48,72\;.
O número total de equipes será
\frac{36}{s}+\frac{48}{s}+\frac{72}{s}=\frac{36+48+72}{s}=\frac{156}{s}.
Para minimizar o número total de equipes \;\frac{156}{s}\;, temos que maximizar \;s\; sujeito à condição de que \;s\; seja divisor comum de \;36,48,72\;.

Passo 3

Definição e ideia chave: o maior valor possível de \;s\; que divide simultaneamente \;36,48,72\; é o máximo divisor comum (MDC, também chamado gcd). Se encontrarmos \gcd(36,48,72), esse será o maior \;s\; permitido e, consequentemente, dará o menor número de equipes.
Explicando o conceito de MDC de forma simples: o MDC de vários números é o maior inteiro que divide todos eles. Uma forma prática de calcular o MDC é fatorar cada número em primos e tomar, para cada primo, a menor potência presente nas três fatorações.

Passo 4

Vamos fatorar os números em primos (isso é mecânica simples e confiável):
36 = 2^2 \cdot 3^2
48 = 2^4 \cdot 3^1
72 = 2^3 \cdot 3^2
Para obter o MDC tomamos, para cada primo, o menor expoente entre as três fatorações:
  • para o primo 2: expoentes são 2,4,3 → mínimo é 2;
  • para o primo 3: expoentes são 2,1,2 → mínimo é 1.
Portanto
\gcd(36,48,72)=2^{2}\cdot 3^{1}=4\cdot 3=12.

Passo 5

Logo, o maior tamanho de equipe possível é \;s=12\;. Isso maximiza \;s\; e minimiza o número total de equipes. Agora calculamos o número total de equipes com \;s=12\;:
\frac{156}{12} = 13.
Para conferir rapidamente: com equipes de tamanho \;12\; teremos \;36/12=3\; equipes de Tecnologia, \;48/12=4\; de Marketing e \;72/12=6\; de Design; total \;3+4+6=13\;, consistente com o cálculo.

Passo 6

Conclusão e verificação final: não existe \;s>12\; que divida todos os três números simultaneamente, pois 12 é o \gcd. Assim \;13\; é realmente o número mínimo de equipes possível sob as condições dadas.

Resposta

(B)

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