Questão 29

Um arquiteto está projetando um jardim triangular para um parque. Ele deseja que o jardim tenha a forma de um triângulo isósceles, com dois lados iguais medindo 10 metros cada, e uma base de 12 metros onde será colocada uma fonte. Para decorar o caminho que levará até a fonte, ele precisa saber a medida da mediana relativa à base. Assinale a alternativa que corretamente apresenta essa medida.
(A) 9
(B) 7
(C) 8
(D) 6

Passo 1

O enunciado pede a medida da mediana relativa à base de um triângulo isósceles. Informações dadas:
  • O triângulo é isósceles com dois lados iguais medindo \,10 metros cada.
  • A base do triângulo mede \,12 metros.
  • A mediana pedida é a mediana relativa à base (ou seja, a mediana que parte do vértice oposto à base e vai até o ponto médio da base).

Passo 2

Propriedade importante (explicação didática): em um triângulo isósceles, a mediana traçada a partir do vértice do ângulo formado pelos lados iguais até a base tem uma propriedade muito útil: ela coincide com a altura e com a bissetriz relativa à base. Em palavras mais simples: essa mediana é perpendicular à base e divide a base em duas metades iguais. Isso ocorre por simetria: os dois lados iguais fazem com que o vértice superior seja equidistante das extremidades da base, então o segmento que liga esse vértice ao ponto médio da base é também o eixo de simetria do triângulo.
Aplicando isso ao nosso caso: a mediana à base vai dividir a base de comprimento \,12 em dois segmentos iguais de comprimento
\displaystyle\frac{12}{2}=6.
Ou seja, ao traçar a mediana, obtemos um triângulo retângulo com catetos de comprimentos \,6 (metade da base) e a mediana (que queremos achar), e hipotenusa igual a \,10 (um dos lados iguais do isósceles).

Passo 3

Agora vamos usar o Teorema de Pitágoras, que é a ferramenta básica para triângulos retângulos. O teorema diz que, num triângulo retângulo, se \,a e \,b são os comprimentos dos catetos e \,c é o comprimento da hipotenusa, então
a^2 + b^2 = c^2.
Aqui, escolhemos:
  • a = comprimento da metade da base = \,6,
  • b = comprimento da mediana que queremos achar, vamos chamá-la de m,
  • c = hipotenusa = comprimento do lado igual = \,10.
Substituindo na fórmula:
6^2 + m^2 = 10^2.
Calculando cada quadrado:
36 + m^2 = 100.
Isolando m^2:
m^2 = 100 - 36 = 64.
Extraindo a raiz quadrada (e escolhendo a raiz positiva porque comprimento é positivo):
m = \sqrt{64} = 8.
Observação didática curta: esse procedimento é padrão em problemas com triângulos isósceles quando pedem altura, mediana ou bissetriz relativa à base — sempre que a mediana coincide com a altura, você pode pegar metade da base e aplicar Pitágoras com a medida do lado igual.

Passo 4

Interpretação final do resultado: a mediana relativa à base mede \,8 metros. Conferindo as alternativas fornecidas, a alternativa correta é a que indica \,8.

Resposta

(C) 8

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