Questão 29
Um arquiteto está projetando um jardim triangular para um parque. Ele deseja que o jardim tenha a forma de um triângulo isósceles, com dois lados iguais medindo 10 metros cada, e uma base de 12 metros onde será colocada uma fonte. Para decorar o caminho que levará até a fonte, ele precisa saber a medida da mediana relativa à base. Assinale a alternativa que corretamente apresenta essa medida.
(A) 9
(B) 7
(C) 8
(D) 6
(A) 9
(B) 7
(C) 8
(D) 6
Passo 1
O enunciado pede a medida da mediana relativa à base de um triângulo isósceles. Informações dadas:
- O triângulo é isósceles com dois lados iguais medindo
metros cada. - A base do triângulo mede
metros. - A mediana pedida é a mediana relativa à base (ou seja, a mediana que parte do vértice oposto à base e vai até o ponto médio da base).
Passo 2
Propriedade importante (explicação didática): em um triângulo isósceles, a mediana traçada a partir do vértice do ângulo formado pelos lados iguais até a base tem uma propriedade muito útil: ela coincide com a altura e com a bissetriz relativa à base. Em palavras mais simples: essa mediana é perpendicular à base e divide a base em duas metades iguais. Isso ocorre por simetria: os dois lados iguais fazem com que o vértice superior seja equidistante das extremidades da base, então o segmento que liga esse vértice ao ponto médio da base é também o eixo de simetria do triângulo.
Aplicando isso ao nosso caso: a mediana à base vai dividir a base de comprimento
em dois segmentos iguais de comprimento
Ou seja, ao traçar a mediana, obtemos um triângulo retângulo com catetos de comprimentos (metade da base) e a mediana (que queremos achar), e hipotenusa igual a
(um dos lados iguais do isósceles).
Ou seja, ao traçar a mediana, obtemos um triângulo retângulo com catetos de comprimentos
Passo 3
Agora vamos usar o Teorema de Pitágoras, que é a ferramenta básica para triângulos retângulos. O teorema diz que, num triângulo retângulo, se
e
são os comprimentos dos catetos e
é o comprimento da hipotenusa, então
Aqui, escolhemos:
-
= comprimento da metade da base = , -
= comprimento da mediana que queremos achar, vamos chamá-la de , -
= hipotenusa = comprimento do lado igual = .
Substituindo na fórmula:
Calculando cada quadrado:
Isolando
:
Extraindo a raiz quadrada (e escolhendo a raiz positiva porque comprimento é positivo):
Observação didática curta: esse procedimento é padrão em problemas com triângulos isósceles quando pedem altura, mediana ou bissetriz relativa à base — sempre que a mediana coincide com a altura, você pode pegar metade da base e aplicar Pitágoras com a medida do lado igual.
Passo 4
Interpretação final do resultado: a mediana relativa à base mede
metros. Conferindo as alternativas fornecidas, a alternativa correta é a que indica
.
Resposta
(C)