Questão 54. Quantos são os anagramas da palavra URUGUAI que começam por vogal?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: contar quantos anagramas da palavra \text{URUGUAI} começam por vogal.
  • Letras disponíveis na palavra \text{URUGUAI}:
    • U aparece 3 vezes;
    • R aparece 1 vez;
    • G aparece 1 vez;
    • A aparece 1 vez;
    • I aparece 1 vez.
  • Vogais presentes: \{U,A,I\}.
  • Total de letras: 7.
Conclusão do passo: precisamos contar todas as permutações das 7 letras (considerando repetições) cuja primeira letra seja uma vogal ( U, A ou I).

Passo 2

Plano de contagem e fórmula usada (explicação didática).
  • Ideia: fixar qual vogal fica na primeira posição e, para cada caso, contar de quantas maneiras se pode permutar as demais 6 posições, levando em conta as repetições de letras.
  • Fórmula geral para permutações de um multiconjunto: se há n objetos com n_1 idênticos de um tipo, n_2 idênticos de outro tipo, etc., o número de permutações distintas é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}.
Aqui n é o número total de posições a permutar e cada n_i é a multiplicidade de um símbolo repetido.
  • Aplicação ao nosso problema: para cada escolha da primeira letra (uma vogal), sobraram 6 posições; devemos aplicar a fórmula acima usando as multiplicidades restantes.

Passo 3

Caso 1: primeira letra é A.
  • Se a primeira posição for ocupada por A (há só uma A), as letras restantes são: U,U,U,R,G,I.
  • Ou seja, 6 letras com U repetido 3 vezes e as demais únicas.
  • Número de permutações das 6 posições:
\frac{6!}{3!}.
  • Calculemos:
6! = 720,\qquad 3! = 6,
\frac{6!}{3!}=\frac{720}{6}=120.
Logo, existem 120 anagramas que começam por A.

Passo 4

Caso 2: primeira letra é I.
  • A situação é análoga ao caso A: se primeiro é I, sobram as letras U,U,U,R,G,A.
  • Novamente 6 letras com U repetido 3 vezes.
  • Número de permutações:
\frac{6!}{3!}=120.
Portanto, existem 120 anagramas que começam por I.

Passo 5

Caso 3: primeira letra é U.
  • Colocar U na primeira posição consome uma das 3 letras U. Restam as letras: U,U,R,G,A,I.
  • Agora nas 6 posições restantes o U aparece 2 vezes; as outras são todas distintas.
  • Número de permutações:
\frac{6!}{2!}.
  • Calculemos:
6! = 720,\qquad 2! = 2,
\frac{6!}{2!}=\frac{720}{2}=360.
Logo, existem 360 anagramas que começam por U.

Passo 6

Somar os casos e comentar sobre indistinguibilidade.
  • Total de anagramas que começam por vogal = (caso A) + (caso I) + (caso U):
120 + 120 + 360 = 600.
  • Observação importante (didática): não multiplicou-se o caso "primeira letra U" por 3 (o número de Us) porque as três letras U são idênticas — escolher uma delas para a primeira posição não gera anagramas distintos. É por isso que, ao fixar um U na frente, tratamos os U restantes com multiplicidade 2 na fórmula.

Passo 7

Exemplo curto para fixar a ideia (opcional, reforço didático).
  • Exemplo rápido: para a palavra \text{ABA} (duas letras A e uma B), o número total de anagramas é
\frac{3!}{2!}=3,
que são AAB, ABA e BAA. Isso ilustra como a divisão por 2! elimina as permutações que apenas trocam as letras idênticas.

Resposta

600

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