Questão 54. Quantos são os anagramas da palavra URUGUAI que começam por vogal?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: contar quantos anagramas da palavra
começam por vogal. - Letras disponíveis na palavra
: -
aparece vezes; -
aparece vez; -
aparece vez; -
aparece vez; -
aparece vez.
-
- Vogais presentes:
. - Total de letras:
.
Conclusão do passo: precisamos contar todas as permutações das
letras (considerando repetições) cuja primeira letra seja uma vogal (
,
ou
).
Passo 2
Plano de contagem e fórmula usada (explicação didática).
- Ideia: fixar qual vogal fica na primeira posição e, para cada caso, contar de quantas maneiras se pode permutar as demais
posições, levando em conta as repetições de letras. - Fórmula geral para permutações de um multiconjunto: se há
objetos com idênticos de um tipo, idênticos de outro tipo, etc., o número de permutações distintas é
Aqui
é o número total de posições a permutar e cada
é a multiplicidade de um símbolo repetido.
- Aplicação ao nosso problema: para cada escolha da primeira letra (uma vogal), sobraram
posições; devemos aplicar a fórmula acima usando as multiplicidades restantes.
Passo 3
Caso 1: primeira letra é
.
- Se a primeira posição for ocupada por
(há só uma ), as letras restantes são: . - Ou seja,
letras com repetido vezes e as demais únicas. - Número de permutações das
posições:
- Calculemos:
Logo, existem
anagramas que começam por
.
Passo 4
Caso 2: primeira letra é
.
- A situação é análoga ao caso
: se primeiro é , sobram as letras . - Novamente
letras com repetido vezes. - Número de permutações:
Portanto, existem
anagramas que começam por
.
Passo 5
Caso 3: primeira letra é
.
- Colocar
na primeira posição consome uma das letras . Restam as letras: . - Agora nas
posições restantes o aparece vezes; as outras são todas distintas. - Número de permutações:
- Calculemos:
Logo, existem
anagramas que começam por
.
Passo 6
Somar os casos e comentar sobre indistinguibilidade.
- Total de anagramas que começam por vogal = (caso
) + (caso ) + (caso ):
- Observação importante (didática): não multiplicou-se o caso "primeira letra
" por (o número de s) porque as três letras são idênticas — escolher uma delas para a primeira posição não gera anagramas distintos. É por isso que, ao fixar um na frente, tratamos os restantes com multiplicidade na fórmula.
Passo 7
Exemplo curto para fixar a ideia (opcional, reforço didático).
- Exemplo rápido: para a palavra
(duas letras e uma ), o número total de anagramas é
que são
,
e
. Isso ilustra como a divisão por
elimina as permutações que apenas trocam as letras idênticas.