Questão 27. A equação de Navier-Stokes descreve a evolução do campo de velocidades de um fluido viscoso, que aqui consideraremos também incompressivel
onde
é o campo de velocidades,
é a pressão e
o coeficiente de viscosidade (cisalhamento). Ao tomar o rotacional da equação (5), lembrando que o rotacional de um campo gradiente é sempre nulo:
, obtemos a equação de evolução da vorticidade do fluido
onde a vorticidade fica definida por
. Fazendo uma mudança de escala na equação (6) obtemos sua forma adimensional
onde Re
é o número de Reynolds. No limite de baixo Reynolds (alta viscosidade), para um fluido bidimensional, a equação (7) é aproximada pela equação de difusão da vorticidade, na forma da equação do calor
Como vimos na equação (4), se inicialmente a vorticidade está concentrada em um ponto, com intensidade
, sua solução é
que tem o comportamento ilustrado na Figura anterior. Para detalhes, veja a referência [1].
Referências
[1] S.H. Smith, Unsteady Stokes’ flow in two dimensions, J. Eng. Math., 21 (1987), 271-285.
[1] S.H. Smith, Unsteady Stokes’ flow in two dimensions, J. Eng. Math., 21 (1987), 271-285.
Passo 1
O enunciado fornece a equação do calor bidimensional para a vorticidade e diz que, inicialmente, a vorticidade está concentrada em um ponto com intensidade
. Mais precisamente, temos os dados seguintes:
- Equação a ser resolvida:
valendo para
e
.
- Condição inicial (vorticidade concentrada em um ponto na origem):
onde
é a distribuição delta de Dirac e
é a constante que dá a intensidade total de vorticidade.
- O que se pede (implícito): encontrar a solução
para que satisfaça a equação do calor com a condição inicial dada.
Passo 2
Escolhemos usar a transformada de Fourier espacial porque ela transforma derivadas espaciais em multiplicações algébricas, o que reduz a PDE a uma ODE em
. Vou explicar a ferramenta com calma.
Definição (transformada de Fourier em 2D). Para uma função razoável
definimos sua transformada
por
A transformada inversa é
Aqui
e
. Propriedade útil: a transformada da laplaciana
é
, onde
. Outra propriedade: a transformada da delta
é
.
Passo 3
Aplicamos a transformada de Fourier espacial na equação do calor. Denotando
a transformada de
, obtemos, usando a propriedade da laplaciana,
A condição inicial transformada é, pela propriedade da delta,
Portanto, para cada
temos uma ODE ordinária em
com condição inicial
.
Passo 4
Resolvemos a ODE em
. É uma equação linear de primeira ordem com coeficiente constante:
Solução (separando variáveis ou reconhecendo exponencial):
Passo 5
Voltamos ao espaço físico aplicando a transformada inversa. Assim
Podemos calcular essa integral como o produto de duas integrais unidimensionais (pois o integrando separa em
e
):
e análogo para
. Multiplicando os dois resultados:
Substituindo na inversa e incluindo o fator
e
, obtemos
Passo 6
Verificações rápidas para ganhar confiança (coisas que podem cair na prova):
- Normalização: integrar
sobre dá , isto é
porque o núcleo
integra
. Assim a “intensidade total” de vorticidade é preservada, como esperado.
- Limite
: a família de funções
converge à distribuição
, então
, recuperando a condição inicial.