Questão 27. A equação de Navier-Stokes descreve a evolução do campo de velocidades de um fluido viscoso, que aqui consideraremos também incompressivel
\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}+(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=-\nabla p+\mu \nabla^{2} \vec{u}, \quad \nabla \cdot \vec{u}=0
onde \vec{u}(\vec{r}, t) é o campo de velocidades, p(\vec{r}, t) é a pressão e \mu o coeficiente de viscosidade (cisalhamento). Ao tomar o rotacional da equação (5), lembrando que o rotacional de um campo gradiente é sempre nulo: \nabla \times \nabla p=\overrightarrow{0}, obtemos a equação de evolução da vorticidade do fluido
\frac{D \vec{\omega}}{D t}=\frac{\partial \vec{\omega}}{\partial t}+(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{\omega}=\mu \nabla^{2} \vec{\omega}, \quad \nabla \cdot \vec{u}=0
onde a vorticidade fica definida por \vec{\omega}=\nabla \times \vec{u}. Fazendo uma mudança de escala na equação (6) obtemos sua forma adimensional
\frac{\partial \vec{\omega}}{\partial t}+\operatorname{Re}(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{\omega}=\nabla^{2} \vec{\omega}
onde Re =a U \mu^{-1} é o número de Reynolds. No limite de baixo Reynolds (alta viscosidade), para um fluido bidimensional, a equação (7) é aproximada pela equação de difusão da vorticidade, na forma da equação do calor
\frac{\partial \omega}{\partial t}=\nabla^{2} \omega
Como vimos na equação (4), se inicialmente a vorticidade está concentrada em um ponto, com intensidade \omega_{0}, sua solução é
\omega(x, y, t)=\frac{1}{4 \pi t} e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{4 t}}
que tem o comportamento ilustrado na Figura anterior. Para detalhes, veja a referência [1].
Referências
[1] S.H. Smith, Unsteady Stokes’ flow in two dimensions, J. Eng. Math., 21 (1987), 271-285.

Passo 1

O enunciado fornece a equação do calor bidimensional para a vorticidade e diz que, inicialmente, a vorticidade está concentrada em um ponto com intensidade \omega_{0}. Mais precisamente, temos os dados seguintes:
  • Equação a ser resolvida:
\frac{\partial \omega}{\partial t}=\nabla^{2}\omega,
valendo para (x,y)\in\mathbb{R}^{2} e t>0.
  • Condição inicial (vorticidade concentrada em um ponto na origem):
\omega(x,y,0)=\omega_{0}\,\delta(x)\,\delta(y),
onde \delta é a distribuição delta de Dirac e \omega_{0} é a constante que dá a intensidade total de vorticidade.
  • O que se pede (implícito): encontrar a solução \omega(x,y,t) para t>0 que satisfaça a equação do calor com a condição inicial dada.

Passo 2

Escolhemos usar a transformada de Fourier espacial porque ela transforma derivadas espaciais em multiplicações algébricas, o que reduz a PDE a uma ODE em t. Vou explicar a ferramenta com calma.
Definição (transformada de Fourier em 2D). Para uma função razoável f(x,y) definimos sua transformada \widehat{f}(k_x,k_y) por
\widehat{f}(k_x,k_y)=\int_{\mathbb{R}^{2}} f(x,y)\,e^{-i(k_x x+k_y y)}\,dx\,dy.
A transformada inversa é
f(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^{2}}\int_{\mathbb{R}^{2}} \widehat{f}(k_x,k_y)\,e^{i(k_x x+k_y y)}\,dk_x\,dk_y.
Aqui \vec{x}=(x,y) e \vec{k}=(k_x,k_y). Propriedade útil: a transformada da laplaciana \nabla^{2}f é -|\vec{k}|^{2}\widehat{f}, onde |\vec{k}|^{2}=k_x^{2}+k_y^{2}. Outra propriedade: a transformada da delta \delta(x)\delta(y) é 1.

Passo 3

Aplicamos a transformada de Fourier espacial na equação do calor. Denotando \widehat{\omega}(\vec{k},t) a transformada de \omega(\vec{x},t), obtemos, usando a propriedade da laplaciana,
\frac{\partial \widehat{\omega}}{\partial t}(\vec{k},t) = -|\vec{k}|^{2}\,\widehat{\omega}(\vec{k},t).
A condição inicial transformada é, pela propriedade da delta,
\widehat{\omega}(\vec{k},0)=\int_{\mathbb{R}^{2}} \omega_{0}\,\delta(x)\delta(y)\,e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\,dx\,dy = \omega_{0}.
Portanto, para cada \vec{k} temos uma ODE ordinária em t com condição inicial \widehat{\omega}(\vec{k},0)=\omega_{0}.

Passo 4

Resolvemos a ODE em t. É uma equação linear de primeira ordem com coeficiente constante:
\frac{d}{dt}\widehat{\omega}(\vec{k},t) = -|\vec{k}|^{2}\widehat{\omega}(\vec{k},t).
Solução (separando variáveis ou reconhecendo exponencial):
\widehat{\omega}(\vec{k},t)=\widehat{\omega}(\vec{k},0)\,e^{-|\vec{k}|^{2}t}=\omega_{0}\,e^{-|\vec{k}|^{2}t}.

Passo 5

Voltamos ao espaço físico aplicando a transformada inversa. Assim
\omega(x,y,t)=\frac{1}{(2\pi)^{2}}\int_{\mathbb{R}^{2}} \omega_{0}\,e^{-|\vec{k}|^{2}t}\,e^{i(k_x x+k_y y)}\,dk_x\,dk_y.
Podemos calcular essa integral como o produto de duas integrais unidimensionais (pois o integrando separa em k_x e k_y):
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t k_x^{2}} e^{i k_x x}\,dk_x = \sqrt{\frac{\pi}{t}}\,e^{-\frac{x^{2}}{4t}},
e análogo para k_y. Multiplicando os dois resultados:
\int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-t(k_x^{2}+k_y^{2})} e^{i(k_x x+k_y y)}\,dk_x\,dk_y = \frac{\pi}{t}\,e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{4t}}.
Substituindo na inversa e incluindo o fator (2\pi)^{-2} e \omega_{0}, obtemos
\omega(x,y,t)=\frac{\omega_{0}}{(2\pi)^{2}}\cdot\frac{\pi}{t}\,e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{4t}}=\frac{\omega_{0}}{4\pi t}\,e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{4t}}.

Passo 6

Verificações rápidas para ganhar confiança (coisas que podem cair na prova):
  • Normalização: integrar \omega sobre \mathbb{R}^{2} \omega_{0}, isto é
\int_{\mathbb{R}^{2}} \omega(x,y,t)\,dx\,dy = \omega_{0},
porque o núcleo \frac{1}{4\pi t}e^{-(x^{2}+y^{2})/(4t)} integra 1. Assim a “intensidade total” de vorticidade é preservada, como esperado.
  • Limite t\to 0^{+}: a família de funções
G_t(x,y)=\frac{1}{4\pi t}e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{4t}}
converge à distribuição \delta(x)\delta(y), então \omega(x,y,t)\to \omega_{0}\delta(x)\delta(y), recuperando a condição inicial.

Resposta

\omega(x,y,t)=\frac{\omega_{0}}{4\pi t}\,e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{4t}}.

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