QUESTÃO 27

Um laser produz luz com comprimento de onda de 625 nm em um pulso ultracurto. Qual é a duração mínima do pulso se a incerteza mínima na energia dos fótons for 1,0%?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Comprimento de onda da luz: \lambda = 625\\ \text{nm}.
  • Incerteza relativa mínima na energia dos fótons: \dfrac{\Delta E}{E} = 1{,}0\% = 0{,}01.
  • Pergunta: qual é a duração mínima do pulso (ou seja, o menor valor possível de \Delta t) compatível com essa incerteza em energia?

Passo 2

Vamos identificar a relação física que liga incerteza em energia com duração do pulso. A princípio não é pedido qual “matéria”, mas aqui a ferramenta apropriada é o princípio da incerteza energia-tempo, que diz que não se pode ter ao mesmo tempo uma energia extremamente precisa e um tempo de existência do estado extremamente curto. A forma usual desta desigualdade é
\Delta E\,\Delta t \ge \frac{\hbar}{2},
onde:
  • \Delta E é a incerteza (desvio típico) da energia dos fótons;
  • \Delta t é a duração característica do pulso (tempo durante o qual o fóton/estado existe);
  • \hbar é a constante de Planck reduzida, definida por \hbar = \dfrac{h}{2\pi}, sendo h a constante de Planck.
Para estimar a duração mínima do pulso, assumimos a menor duração compatível com a desigualdade, ou seja, a igualdade
\Delta t_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta E}.
Explico rápido: escolher a igualdade dá o limite teórico (pulso “limitado pela transformada de Fourier”); na prática pulsos reais têm \Delta t iguais ou maiores.

Passo 3

Precisamos escrever \Delta E em termos do dado do enunciado. A energia de um fóton com comprimento de onda \lambda é
E = \frac{h c}{\lambda},
onde c é a velocidade da luz no vácuo e h é a constante de Planck. A incerteza dada é \dfrac{\Delta E}{E}=0{,}01, logo
\Delta E = 0{,}01\,E = 0{,}01\cdot\frac{h c}{\lambda}.

Passo 4

Agora substituímos \Delta E na expressão para \Delta t_{\min} e simplificamos passo a passo:
\Delta t_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta E} = \frac{\hbar}{2\left(0{,}01\cdot\dfrac{h c}{\lambda}\right)} = \frac{\hbar}{0{,}02\,\dfrac{h c}{\lambda}} = \frac{\hbar\,\lambda}{0{,}02\,h c}.
Como \hbar = \dfrac{h}{2\pi}, temos
\Delta t_{\min} = \frac{\dfrac{h}{2\pi}\,\lambda}{0{,}02\,h c} = \frac{\lambda}{2\pi}\cdot\frac{1}{0{,}02\,c} = \frac{\lambda}{0{,}04\pi\,c}.
Simplificando o fator numérico 1/0{,}04 = 25,
\Delta t_{\min} = \frac{25\,\lambda}{\pi\,c}.
Essa fórmula é prática: dá o menor tempo do pulso em função do comprimento de onda e da fração \Delta E/E = 0{,}01.

Passo 5

Agora calculamos numericamente. Usaremos \lambda = 625\\ \text{nm} = 625\times10^{-9}\\ \text{m} e c = 3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s}. Substituindo em
\Delta t_{\min} = \frac{25\,\lambda}{\pi\,c},
obtemos primeiro o numerador:
25\lambda = 25\cdot(625\times10^{-9}) = 15625\times10^{-9} = 1{,}5625\times10^{-5}\\ \text{m}.
O denominador é
\pi c \approx 3{,}1416\cdot 3{,}00\times10^{8} = 9{,}4248\times10^{8}\\ \text{m/s}.
Dividindo:
\Delta t_{\min} \approx \frac{1{,}5625\times10^{-5}}{9{,}4248\times10^{8}}\\ \text{s} \approx 1{,}66\times10^{-14}\\ \text{s}.
Para ficar em unidades mais intuitivas: 1{,}66\times10^{-14}\\ \text{s} = 16{,}6\\ \text{fs} (femtossegundos), pois 1\\ \text{fs}=10^{-15}\\ \text{s}.
Interpretação física curta: isso significa que, se a incerteza da energia dos fótons é de apenas 1{,}0\%, a duração do pulso não pode ser menor que \sim 17\\ \text{fs}. Pulsos mais curtos exigem maior largura espectral (ou seja, maior \Delta E/E).

Resposta

\Delta t_{\min} \approx 1{,}66\times10^{-14}\\ \text{s}
\Delta t_{\min} \approx 16{,}6\\ \text{fs}

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