QUESTÃO 27
Um laser produz luz com comprimento de onda de 625 nm em um pulso ultracurto. Qual é a duração mínima do pulso se a incerteza mínima na energia dos fótons for 1,0%?
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
- Comprimento de onda da luz:
. - Incerteza relativa mínima na energia dos fótons:
. - Pergunta: qual é a duração mínima do pulso (ou seja, o menor valor possível de
) compatível com essa incerteza em energia?
Passo 2
Vamos identificar a relação física que liga incerteza em energia com duração do pulso. A princípio não é pedido qual “matéria”, mas aqui a ferramenta apropriada é o princípio da incerteza energia-tempo, que diz que não se pode ter ao mesmo tempo uma energia extremamente precisa e um tempo de existência do estado extremamente curto. A forma usual desta desigualdade é
onde:
-
é a incerteza (desvio típico) da energia dos fótons; -
é a duração característica do pulso (tempo durante o qual o fóton/estado existe); -
é a constante de Planck reduzida, definida por , sendo a constante de Planck.
Para estimar a duração mínima do pulso, assumimos a menor duração compatível com a desigualdade, ou seja, a igualdade
Explico rápido: escolher a igualdade dá o limite teórico (pulso “limitado pela transformada de Fourier”); na prática pulsos reais têm
iguais ou maiores.
Passo 3
Precisamos escrever
em termos do dado do enunciado. A energia de um fóton com comprimento de onda
é
onde
é a velocidade da luz no vácuo e
é a constante de Planck. A incerteza dada é
, logo
Passo 4
Agora substituímos
na expressão para
e simplificamos passo a passo:
Como
, temos
Simplificando o fator numérico
,
Essa fórmula é prática: dá o menor tempo do pulso em função do comprimento de onda e da fração
.
Passo 5
Agora calculamos numericamente. Usaremos
e
. Substituindo em
obtemos primeiro o numerador:
O denominador é
Dividindo:
Para ficar em unidades mais intuitivas:
(femtossegundos), pois
.
Interpretação física curta: isso significa que, se a incerteza da energia dos fótons é de apenas
, a duração do pulso não pode ser menor que
. Pulsos mais curtos exigem maior largura espectral (ou seja, maior
).