QUESTÃO 32
Um fóton com comprimento de onda
incide sobre um elétron que se encontra inicialmente em repouso. Se o fóton se espalha formando um ângulo de
com sua direção original, quais são o módulo e a direção do momento linear do elétron logo após a colisão com o fóton?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados (pegos do enunciado):
- Comprimento de onda do fóton incidente:
. - O elétron está inicialmente em repouso.
- O fóton espalha formando um ângulo
com a direção original do fóton.
O enunciado pede: - O módulo do momento linear do elétron logo após a colisão.
- A direção do momento linear do elétron (em relação à direção original do fóton).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
- Em espalhamento Compton, o comprimento de onda do fóton sofre um aumento dado por a fórmula de Compton:
onde
é o comprimento de Compton do elétron,
é a constante de Planck,
a massa do elétron e
a velocidade da luz. Aqui:
-
, -
, -
. - Momento de um fóton:
. - Conservação do momento (vetorial): como o elétron estava em repouso,
Iremos usar componentes: tomar eixo
na direção do fóton incidente e o fóton espalhado formando ângulo
no sentido positivo de
.
Passo 3
Converter unidades e calcular o comprimento de Compton:
- Converter
para metros:
- Comprimento de Compton do elétron:
- Calcular
para (onde ):
Passo 4
Comprimento de onda do fóton espalhado:
Passo 5
Momentos dos fótons antes e depois (usar
):
- Momento inicial do fóton:
- Momento do fóton espalhado:
(Nota didática: a diferença
é pequena porque
é muito menor do que
.)
Passo 6
Componentes do momento do elétron pela conservação vetorial:
- Escolhendo o fóton incidente ao longo de
e o fóton espalhado formando para cima:
- Então o momento do elétron fica
Substituindo números e
:
Passo 7
Módulo do momento do elétron:
Calcular:
(Obs.: numericamente o módulo fica praticamente igual ao momento inicial do fóton, devido à pequeníssima mudança de comprimento de onda.)
Passo 8
Direção do momento do elétron:
- Ângulo
medido a partir da direção original do fóton (eixo ), tomando positivo para cima. Como , o elétron vai para baixo em relação à direção original. - Módulo do ângulo:
Substituindo os números:
- Como
é negativo, a direção é abaixo da direção original do fóton (ou seja, em sentido oposto ao deslocamento vertical do fóton espalhado).
Passo 9
Resumo físico rápido (motivação): o elétron recebe praticamente o mesmo módulo de momento que o fóton inicial (a transferência de momento lateral vem do fóton espalhado), e, neste caso numérico, o elétron recua formando cerca de
abaixo da direção original do fóton.