QUESTÃO 32

Um fóton com comprimento de onda 10,1050 \mathrm{~nm} incide sobre um elétron que se encontra inicialmente em repouso. Se o fóton se espalha formando um ângulo de 60,0^{\circ} com sua direção original, quais são o módulo e a direção do momento linear do elétron logo após a colisão com o fóton?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados (pegos do enunciado):
  • Comprimento de onda do fóton incidente: \lambda = 10,1050\\ \mathrm{nm}.
  • O elétron está inicialmente em repouso.
  • O fóton espalha formando um ângulo \theta = 60,0^\circ com a direção original do fóton.
    O enunciado pede:
  • O módulo do momento linear do elétron logo após a colisão.
  • A direção do momento linear do elétron (em relação à direção original do fóton).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Em espalhamento Compton, o comprimento de onda do fóton sofre um aumento dado por a fórmula de Compton:
\Delta\lambda=\lambda'-\lambda=\lambda_C\bigl(1-\cos\theta\bigr),
onde \lambda_C=\dfrac{h}{m_e c} é o comprimento de Compton do elétron, h é a constante de Planck, m_e a massa do elétron e c a velocidade da luz. Aqui:
  • h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
  • m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
  • c=2{,}99792458\times10^8\\ \mathrm{m/s}.
  • Momento de um fóton: p=\dfrac{h}{\lambda}.
  • Conservação do momento (vetorial): como o elétron estava em repouso,
\vec{p}_\text{el}=\vec{p}_\text{inc} - \vec{p}_\text{scatt}.
Iremos usar componentes: tomar eixo x na direção do fóton incidente e o fóton espalhado formando ângulo \theta no sentido positivo de y.

Passo 3

Converter unidades e calcular o comprimento de Compton:
  • Converter \lambda para metros:
\lambda = 10{,}1050\\ \mathrm{nm} = 10{,}1050\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=1{,}01050\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento de Compton do elétron:
\lambda_C=\frac{h}{m_e c} \approx 2{,}426310238\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular \Delta\lambda para \theta=60{,}0^\circ (onde \cos60^\circ=0{,}5):
\Delta\lambda=\lambda_C(1-\cos\theta)=\lambda_C(1-0{,}5)=0{,}5\,\lambda_C
\Delta\lambda \approx 0{,}5\times2{,}426310238\times10^{-12}\\ \mathrm{m}=1{,}213155119\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Comprimento de onda do fóton espalhado:
\lambda'=\lambda+\Delta\lambda
\lambda' = 1{,}01050\times10^{-8}\\ \mathrm{m} + 1{,}213155119\times10^{-12}\\ \mathrm{m} =1{,}0106213155\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Momentos dos fótons antes e depois (usar p=h/\lambda):
  • Momento inicial do fóton:
p=\frac{h}{\lambda}=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{1{,}01050\times10^{-8}}\\ \mathrm{kg\cdot m/s} \approx 6{,}55722\times10^{-26}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Momento do fóton espalhado:
p'=\frac{h}{\lambda'}=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{1{,}0106213155\times10^{-8}}\\ \mathrm{kg\cdot m/s} \approx 6{,}55643\times10^{-26}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
(Nota didática: a diferença p-p' é pequena porque \Delta\lambda é muito menor do que \lambda.)

Passo 6

Componentes do momento do elétron pela conservação vetorial:
  • Escolhendo o fóton incidente ao longo de +x e o fóton espalhado formando \theta para cima:
\vec{p}_\text{inc}=(p,0),\qquad \vec{p}_\text{scatt}=(p'\cos\theta,\;p'\sin\theta).
  • Então o momento do elétron fica
\vec{p}_\text{el}=(p-p'\cos\theta,\; -p'\sin\theta).
Substituindo números e \cos60^\circ=0{,}5,\\ \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}8660254:
p_{e,x}=p-p'\cos\theta \approx 6{,}55722\times10^{-26} - 0{,}5\times6{,}55643\times10^{-26} \approx 3{,}279005\times10^{-26}\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
p_{e,y}=-p'\sin\theta \approx -6{,}55643\times10^{-26}\times0{,}8660254 \approx -5{,}67780\times10^{-26}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 7

Módulo do momento do elétron:
p_e=\sqrt{p_{e,x}^2+p_{e,y}^2} =\sqrt{\bigl(3{,}279005\times10^{-26}\bigr)^2+\bigl(-5{,}67780\times10^{-26}\bigr)^2}.
Calcular:
p_e\approx\sqrt{1{,}0751\times10^{-51}+3{,}2240\times10^{-51}} =\sqrt{4{,}2991\times10^{-51}} \approx6{,}5570\times10^{-26}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
(Obs.: numericamente o módulo fica praticamente igual ao momento inicial do fóton, devido à pequeníssima mudança de comprimento de onda.)

Passo 8

Direção do momento do elétron:
  • Ângulo \varphi medido a partir da direção original do fóton (eixo +x), tomando positivo para cima. Como p_{e,y}<0, o elétron vai para baixo em relação à direção original.
  • Módulo do ângulo:
\varphi=\arctan\!\left(\frac{|p_{e,y}|}{p_{e,x}}\right) =\arctan\!\left(\frac{p'\sin\theta}{\,p-p'\cos\theta\,}\right).
Substituindo os números:
\varphi\approx\arctan\!\left(\frac{5{,}67780\times10^{-26}}{3{,}279005\times10^{-26}}\right) =\arctan(1{,}73164)\approx59{,}99^\circ\approx60{,}0^\circ.
  • Como p_{e,y} é negativo, a direção é 60{,}0^\circ abaixo da direção original do fóton (ou seja, em sentido oposto ao deslocamento vertical do fóton espalhado).

Passo 9

Resumo físico rápido (motivação): o elétron recebe praticamente o mesmo módulo de momento que o fóton inicial (a transferência de momento lateral vem do fóton espalhado), e, neste caso numérico, o elétron recua formando cerca de 60^\circ abaixo da direção original do fóton.

Resposta

6{,}557\times10^{-26}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
60{,}0^\circ abaixo da direção original do fóton

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