(a) ( 9 pontos) Encontre as matrizes elementares E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4} tais que A=E_{1} E_{2} E_{3} E_{4} B.
(b) ( 9 pontos) Determine a relação entre \operatorname{det}(B) e \operatorname{det}(A) ? Justifique.
(c) ( 9 pontos) B é invertível? Justifique.
As perguntas são:
(a) Encontrar matrizes elementares E_{1},E_{2},E_{3},E_{4} tais que A=E_{1}E_{2}E_{3}E_{4}B.
(b) Determinar a relação entre \det(B) e \det(A). Justificar.
(c) Dizer se B é invertível e justificar.
Vou agora realizar uma sequência de operações por linhas (cada uma representada por uma matriz elementar) que transforma B em A, explicar o que são essas matrizes elementares e usar propriedades de determinantes para responder (b) e (c).
Passo 2
O que é uma matriz elementar (curtinha, didática):
Uma matriz elementar é obtida a partir da matriz identidade aplicando uma única operação elementar por linhas (trocar duas linhas; multiplicar uma linha por um escalar não nulo; ou adicionar múltiplo de uma linha a outra).
Multiplicar uma matriz M à esquerda por uma matriz elementar E corresponde a executar a operação elementar nas linhas de M.
Para operações do tipo "adicionar k vezes a linha i na linha j" a matriz elementar tem determinante 1. Para “trocar duas linhas” o determinante é -1. Para "multiplicar uma linha por k" o determinante é k.
Vamos construir explicitamente (passo a passo) operações por linhas que transformam B em A. Em seguida escrevo as matrizes elementares correspondentes.
Passo 3
Planejo uma sequência de quatro operações por linhas que levam B a A. Vou aplicar as operações nesta ordem (cada operação será representada por uma matriz elementar aplicada à esquerda):
Operação 1 (vou chamá-la temporariamente de F_{1}): R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}.
Operação 2 (F_{2}): novamente R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}. Note que aqui R_1 ainda é a primeira linha original [1,-1,1] porque não a alteramos; estamos subtraindo a mesma R_1 duas vezes em sequência.
Observação sobre a ordem: aplicando F_1 em B obtivemos M_1; depois F_2 em M_1 obtivemos M_2; depois F_3 em M_2 obtivemos M_3; depois F_4 em M_3 obtivemos A. Então
A = F_{4}F_{3}F_{2}F_{1}B.
Passo 7
O enunciado pede E_{1},E_{2},E_{3},E_{4} tais que A=E_{1}E_{2}E_{3}E_{4}B. Comparando com a expressão obtida
Além disso, podemos calcular \det(A) diretamente (para obter o valor numérico). Expansão por cofatores ao longo da primeira coluna (que tem entradas 1,0,0) é muito simples:
Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
Como \det(B)=10\neq 0, concluímos que B é invertível.
Observação adicional (intuitiva): todas as matrizes elementares são invertíveis; como A é obtida por produto de matrizes elementares por B, se uma delas fosse singular isso afetaria — mas aqui o argumento direto via determinante é suficiente e claro.