Questão 1:(27 pontos) Considere as seguintes matrizes
B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right) \quad e \quad A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 4 & 0 \\\\ 0 & 5 & -1 \\\\ 0 & 5 & 1 \end{array}\right) .
(a) ( 9 pontos) Encontre as matrizes elementares E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4} tais que A=E_{1} E_{2} E_{3} E_{4} B.
(b) ( 9 pontos) Determine a relação entre \operatorname{det}(B) e \operatorname{det}(A) ? Justifique.
(c) ( 9 pontos) B é invertível? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\\\ 0 & 5 & -1 \\\\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}.
As perguntas são:
(a) Encontrar matrizes elementares E_{1},E_{2},E_{3},E_{4} tais que A=E_{1}E_{2}E_{3}E_{4}B.
(b) Determinar a relação entre \det(B) e \det(A). Justificar.
(c) Dizer se B é invertível e justificar.
Vou agora realizar uma sequência de operações por linhas (cada uma representada por uma matriz elementar) que transforma B em A, explicar o que são essas matrizes elementares e usar propriedades de determinantes para responder (b) e (c).

Passo 2

O que é uma matriz elementar (curtinha, didática):
  • Uma matriz elementar é obtida a partir da matriz identidade aplicando uma única operação elementar por linhas (trocar duas linhas; multiplicar uma linha por um escalar não nulo; ou adicionar múltiplo de uma linha a outra).
  • Multiplicar uma matriz M à esquerda por uma matriz elementar E corresponde a executar a operação elementar nas linhas de M.
  • Para operações do tipo "adicionar k vezes a linha i na linha j" a matriz elementar tem determinante 1. Para “trocar duas linhas” o determinante é -1. Para "multiplicar uma linha por k" o determinante é k.
Vamos construir explicitamente (passo a passo) operações por linhas que transformam B em A. Em seguida escrevo as matrizes elementares correspondentes.

Passo 3

Planejo uma sequência de quatro operações por linhas que levam B a A. Vou aplicar as operações nesta ordem (cada operação será representada por uma matriz elementar aplicada à esquerda):
Operação 1 (vou chamá-la temporariamente de F_{1}): R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}.
Aplique em B:
R_1=[1,-1,1],\;R_2=[2,3,1],\;R_3=[3,2,4].
Depois de R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}:
R_2'=[2-1,\;3-(-1),\;1-1]=[1,4,0].
Logo a matriz resultante (chamo de M_1) é
M_1=F_{1}B= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 4 & 0\\\\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
A matriz elementar F_{1} (obtida ao aplicar R_2\leftarrow R_2-R_1 na identidade) é
F_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Operação 2 ( F_{2}): novamente R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}. Note que aqui R_1 ainda é a primeira linha original [1,-1,1] porque não a alteramos; estamos subtraindo a mesma R_1 duas vezes em sequência.
Aplicando em M_1:
R_2''=[1-1,\;4-(-1),\;0-1]=[0,5,-1].
A matriz resultante M_2 é
M_2=F_{2}M_1= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 5 & -1\\\\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
A matriz elementar correspondente é igual à anterior (mesma operação):
F_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Operação 3 ( F_{3}): R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}.
Em M_2 temos R_1=[1,-1,1] (não mudada) e R_3=[3,2,4]. Então
R_3'=[3-3,\;2-3(-1),\;4-3(1)]=[0,5,1].
A matriz resultante M_3 é
M_3=F_{3}M_2= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 5 & -1\\\\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}.
A matriz elementar correspondente é
F_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Operação 4 ( F_{4}): R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{2}. Agora usamos a linha R_2 já transformada [0,5,-1].
Em M_3:
R_1'=[1+0,\;-1+5,\;1+(-1)]=[1,4,0].
A matriz final é
M_4=F_{4}M_3= \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0\\\\ 0 & 5 & -1\\\\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix},
que é exatamente A.
A matriz elementar para R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{2} é
F_{4}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Observação sobre a ordem: aplicando F_1 em B obtivemos M_1; depois F_2 em M_1 obtivemos M_2; depois F_3 em M_2 obtivemos M_3; depois F_4 em M_3 obtivemos A. Então
A = F_{4}F_{3}F_{2}F_{1}B.

Passo 7

O enunciado pede E_{1},E_{2},E_{3},E_{4} tais que A=E_{1}E_{2}E_{3}E_{4}B. Comparando com a expressão obtida
A = F_{4}F_{3}F_{2}F_{1}B,
podemos escolher
E_{1}=F_{4},\quad E_{2}=F_{3},\quad E_{3}=F_{2},\quad E_{4}=F_{1}.
Assim, explicitamente:
E_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_{4}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida das operações (já feita nos passos anteriores) confirma que multiplicando na ordem E_{1}E_{2}E_{3}E_{4}B obtemos A.

Passo 8

Resposta à parte (b) — relação entre \det(B) e \det(A), com justificativa didática:
  • Propriedade usada: \det(AB)=\det(A)\det(B) para matrizes quadradas.
  • Para matrizes elementares do tipo “adicionar múltiplo de uma linha a outra” (como são E_{1},E_{2},E_{3},E_{4} acima), temos \det(E_i)=1.
  • Como A=E_{1}E_{2}E_{3}E_{4}B, aplica-se determinante:
\det(A)=\det(E_{1})\det(E_{2})\det(E_{3})\det(E_{4})\det(B).
Cada \det(E_i)=1, logo
\det(A)=1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot\det(B)=\det(B).
Portanto \det(A)=\det(B).
Além disso, podemos calcular \det(A) diretamente (para obter o valor numérico). Expansão por cofatores ao longo da primeira coluna (que tem entradas 1,0,0) é muito simples:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}5 & -1\\[2pt]5 & 1\end{pmatrix} =1\cdot(5\cdot1-(-1)\cdot5)=5+5=10.
Logo \det(B)=\det(A)=10.]

Passo 9

Resposta à parte (c) — invertibilidade de B:
  • Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
  • Como \det(B)=10\neq 0, concluímos que B é invertível.
Observação adicional (intuitiva): todas as matrizes elementares são invertíveis; como A é obtida por produto de matrizes elementares por B, se uma delas fosse singular isso afetaria — mas aqui o argumento direto via determinante é suficiente e claro.

Resposta

(a) E_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_{4}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(b) \det(A)=\det(B)=10
(c) Sim, B é invertível, pois \det(B)=10\neq0.

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