Questão 27: Provar que se A, B, C são eventos independentes, então:
(a) A, B^C são independentes;
(b) A^C, B, C^C são independentes.

Passo 1

O enunciado afirma que A,B,C são eventos independentes, ou seja, valem
P(Acap B)=P(A),P(B), P(Acap C)=P(A),P(C), P(Bcap C)=P(B),P(C),
e
P(Acap Bcap C)=P(A),P(B),P(C)
Precisamos usar essas igualdades e a regra do complemento para provar:
(a) A e B^C são independentes;
(b) A^C,B,C^C são independentes (isto inclui pares e o triplo).

Passo 2

Prova de (a). Usamos que
P(Acap B^C)=P(A)-P(Acap B)
pela regra do complemento em B. Como A e B são independentes, P(Acap B)=P(A)P(B). Logo
P(Acap B^C)=P(A)-P(A),P(B)=P(A)l(1-P(B)r)=P(A),P(B^C),
que é exatamente a definição de independência entre A e B^C.

Passo 3

Prova de (b) – pares. Primeiro mostramos que cada par de eventos em A^C,B,C^C é independente.
  1. Para A^C e B:
P(A^Ccap B)=P(B)-P(Acap B) =P(B)-P(A),P(B) =l(1-P(A)r)P(B) =P(A^C),P(B)
  1. Para B e C^C:
P(Bcap C^C)=P(B)-P(Bcap C) =P(B)-P(B),P(C) =P(B)l(1-P(C)r) =P(B),P(C^C)
  1. Para A^C e C^C:
P(A^Ccap C^C)=1-P(Acup C) =1-l[P(A)+P(C)-P(Acap C)r]
=1-P(A)-P(C)+P(A),P(C) =l(1-P(A)r)l(1-P(C)r) =P(A^C),P(C^C),
onde usamos P(Acap C)=P(A),P(C).

Passo 4

Prova de (b) – tripla. Queremos
Pl(A^Ccap Bcap C^Cr)=P(A^C),P(B),P(C^C)
Pela fórmula de inclusão-exclusão em três conjuntos,
P(A^Ccap Bcap C^C) =P(B)-P(Acap B)-P(Bcap C)+P(Acap Bcap C)
Substituindo independência de A,B,C:
P(B)-P(A)P(B)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) =P(B)l[1-P(A)-P(C)+P(A)P(C)r]
=P(B)l(1-P(A)r)l(1-P(C)r) =P(A^C),P(B),P(C^C)
Isso mostra que o triplo A^C,B,C^C também é independente.

Resposta

(a) A e B^C são independentes.
(b) A^C,B,C^C são independentes.

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