Questão 27: Provar que se
são eventos independentes, então:
(a)
são independentes;
(b)
são independentes.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado afirma que
são eventos independentes, ou seja, valem
e
Precisamos usar essas igualdades e a regra do complemento para provar:
(a) e
são independentes;
(b) são independentes (isto inclui pares e o triplo).
(a)
(b)
Passo 2
Prova de (a). Usamos que
pela regra do complemento em
. Como
e
são independentes,
. Logo
que é exatamente a definição de independência entre
e
.
Passo 3
Prova de (b) – pares. Primeiro mostramos que cada par de eventos em
é independente.
- Para
e :
- Para
e :
- Para
e :
onde usamos
.
Passo 4
Prova de (b) – tripla. Queremos
Pela fórmula de inclusão-exclusão em três conjuntos,
Substituindo independência de
:
Isso mostra que o triplo
também é independente.
Resposta
(a)
e
são independentes.
(b) são independentes.
(b)