Questão 29: Jogue um dado duas vezes. Considere os eventos:
  • A; o resultado do primeiro lançamento é par;
  • B: o resultado do segundo lançamento é par;
  • C: a soma dos resultados é par.
    A e B são independentes? e A e C ? e B e C ? e A, B e C ?

Passo 1

O enunciado joga um dado duas vezes e define os eventos
A: primeiro lançamento é par;
B: segundo lançamento é par;
C: soma dos resultados é par.
Vamos usar a definição de independência, que exige
P(Xcap Y)=P(X),P(Y),
e para três eventos
P(Acap Bcap C)=P(A),P(B),P(C)

Passo 2

Para A e B temos resultados independentes nos dois lançamentos, logo
P(A)=36=12
P(B)=36=12
P(Acap B)=P(primeiro par e segundo par) =36cdot36=14
e
P(A),P(B)=12cdot12=14
Como P(Acap B)=P(A)P(B), os eventos A e B são independentes.

Passo 3

Para verificar A e C primeiro calculamos
P(C)=P(soma par) =P(ambos ímpares)+P(ambos pares) =36cdot36+36cdot36 =12 í
Agora
P(Acap C) =P(primeiro par e soma par) =P(primeiro par e segundo par) =14
Como
P(A),P(C)=12cdot12=14
temos P(Acap C)=P(A)P(C), logo A e C são independentes.

Passo 4

Por simetria, o mesmo raciocínio vale para B e C. Temos
P(B)=12, P(C)=12,
P(Bcap C) =P(segundo par e soma par) =P(segundo par e primeiro par) =14,
e
P(B),P(C)=14
Assim B e C são independentes.

Passo 5

Para checar a independência mútua dos três, calculamos
P(Acap Bcap C) =P(primeiro par, segundo par e soma par)
Mas se ambos lançamentos são pares a soma já é par, então
P(Acap Bcap C)=P(Acap B)=14
Por outro lado
P(A),P(B),P(C) =12cdot12cdot12 =18
Como tfrac14neqtfrac18, A, B e C não são mutuamente independentes.

Resposta

A e B são independentes;
A e C são independentes;
B e C são independentes;
porém A, B e C não são independentes simultaneamente.

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