Questão 27. Sejam
. Mostre que
(Sugestão: Use o Teorema da convolução para
e
.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado
,
Informações dadas:
e
são inteiros naturais e a integral é sobre
de
a
. O objetivo é provar que essa integral iguala a expressão racional em fatoriais multiplicada por
. Não há outras hipóteses adicionais.
Passo 2
Vamos reconhecer a integral como uma convolução. Defina as funções
definidas para
. A convolução dessas funções, no sentido usual em
, é
Substituindo
e
obtemos exatamente a integral do enunciado:
Portanto provar a fórmula pedida é determinar explicitamente
.
Passo 3
Apresento agora a ferramenta que vamos usar: a transformada de Laplace e o Teorema da Convolução. A transformada de Laplace de uma função
(para
) é
O Teorema da Convolução diz que, sempre que as transformadas existirem,
Estratégia: calcular
e
, multiplicá-las, e inverter a transformada para obter
.
Passo 4
Calculemos
. Por definição,
Faça a mudança de variável
. Então
e
. Substituindo:
A integral
é a função Gamma avaliada em
, e para
vale
. Assim
De modo análogo,
Passo 5
Pelo Teorema da Convolução,
Passo 6
Agora precisamos inverter a transformada para obter
. Usamos a fórmula conhecida (obtida pelo mesmo cálculo da transformada acima, invertido): para
,
Comparando com o resultado do passo anterior, vemos que
porque aplicando a fórmula com
dá
. Logo a transformada inversa é
Passo 7
Concluímos que a integral originalmente pedida, que é
, é exatamente
(Como curiosidade rápida: a mesma identidade pode ser obtida por substituição
seguida do uso da função Beta, obtendo
e lembrando que
.)