Questão 46. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função dada por
Ou seja, precisamos mostrar que
Informações dadas e observações iniciais:
- A função
está definida para por uma integral imprópria em . - A transformada de Laplace é, por definição,
desde que essa integral convirja (vamos trabalhar para
, onde a convergência será garantida).
- O enunciado quer que mostremos a igualdade da transformada com
.
Passo 2
Escrevemos a transformada substituindo
pela integral dada:
Aqui temos uma integral dupla sobre a região
. Note que o integrando é não negativo para
, pois
e
(para
). Para
podemos aplicar o Teorema de Tonelli (ou Fubini, com justificativa de convergência) e trocar a ordem de integração sem problemas.
Passo 3
Trocando a ordem de integração, descrevemos a mesma região como
. Assim
Passo 4
Calculamos a integral interna em
. É uma primitiva simples:
válida para
. Substituindo na integral em
obtemos
Passo 5
Precisamos agora avaliar a integral impropria
Essa é uma forma padrão: a diferença de duas integrais tipo
(cada uma isoladamente diverge), mas a diferença converge. Para avaliar
definimos, para
,
Note que
.
Passo 6
Calculamos
diferenciando sob o sinal de integral (justificado porque a derivada do integrando em relação a
é
, e as condições de integrabilidade para
permitem a troca). Assim
Essa integral é uma integral geométrica simples:
Portanto
Passo 7
Integrando
em
obtemos
onde
é constante. Para determinar
avaliamos
em
:
Logo
, daí
. Assim
Passo 8
Voltando ao nosso caso, lembrando que
, obtemos
Substituindo em
concluímos que, para
,