Questão 39. Suponha que
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace de
:
Pede para mostrar que a transformada de Laplace de
é
As informações relevantes são exatamente a transformada
dada e a função temporal escalada
cujo Laplace queremos obter.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade de escala no tempo para transformadas de Laplace. Vou derivá-la passo a passo para você entender bem (sem assumir que já sabe):
Começamos pela definição da transformada de Laplace de com
:
Começamos pela definição da transformada de Laplace de
Faço a mudança de variável
. Então
e
. Os limites de integração permanecem
a
. Substituindo:
Agora fatoro
para fora:
Mas a integral é exatamente a transformada de
avaliada em
, ou seja
com
substituído por
. Portanto obtemos a propriedade:
onde
. Essa fórmula é válida para
. Intuição rápida: comprimir a função no tempo (multiplicar o argumento por
) “espalha” sua transformada no domínio
e força um fator
.
Passo 3
Aplicando a propriedade com
:
onde
é a função dada.
Passo 4
Agora calculo
substituindo
por
em
. Começo pelo numerador:
Coloco em denominador comum
:
Agora o denominador de
:
Calculo cada fator:
, então
é o primeiro fator ao quadrado. O segundo é
. Portanto o denominador inteiro é
Passo 5
Agora divido o numerador pelo denominador para obter
:
Dividir frações equivale a multiplicar pelo inverso:
Simplifico o fator numérico
:
Passo 6
Lembro que
. Multiplicando por
o resultado do passo anterior:
Pronto — chegamos exatamente à expressão pedida.