Questão 39. Suponha que \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\frac{s^{2}-s+1}{(2 s+1)^{2}(s-1)}. Mostre que
\mathcal{L}\left\{f(2 t)\right\}=\frac{s^{2}-2 s+4}{4(s+1)^{2}(s-2)}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace de f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\}= \frac{s^{2}-s+1}{(2s+1)^{2}(s-1)}.
Pede para mostrar que a transformada de Laplace de f(2t) é
\mathcal{L}\{f(2t)\}= \frac{s^{2}-2s+4}{4(s+1)^{2}(s-2)}.
As informações relevantes são exatamente a transformada \mathcal{L}\{f(t)\} dada e a função temporal escalada f(2t) cujo Laplace queremos obter.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade de escala no tempo para transformadas de Laplace. Vou derivá-la passo a passo para você entender bem (sem assumir que já sabe):
Começamos pela definição da transformada de Laplace de f(at) com a>0:
\mathcal{L}\{f(at)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\, f(at)\, dt.
Faço a mudança de variável u = a t. Então t = \dfrac{u}{a} e dt = \dfrac{du}{a}. Os limites de integração permanecem 0 a \infty. Substituindo:
\mathcal{L}\{f(at)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s \frac{u}{a}}\, f(u)\, \frac{du}{a}.
Agora fatoro 1/a para fora:
\mathcal{L}\{f(at)\}=\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-(s/a) u}\, f(u)\, du.
Mas a integral é exatamente a transformada de f avaliada em s/a, ou seja \mathcal{L}\{f(t)\} com s substituído por s/a. Portanto obtemos a propriedade:
\mathcal{L}\{f(at)\}=\frac{1}{a}\,F\!\left(\frac{s}{a}\right),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}. Essa fórmula é válida para a>0. Intuição rápida: comprimir a função no tempo (multiplicar o argumento por a>1) “espalha” sua transformada no domínio s e força um fator 1/a.

Passo 3

Aplicando a propriedade com a=2:
\mathcal{L}\{f(2t)\}=\frac{1}{2}\,F\!\left(\frac{s}{2}\right),
onde F(s)=\dfrac{s^{2}-s+1}{(2s+1)^{2}(s-1)} é a função dada.

Passo 4

Agora calculo F\!\left(\dfrac{s}{2}\right) substituindo s por s/2 em F(s). Começo pelo numerador:
\left(\frac{s}{2}\right)^{2}-\left(\frac{s}{2}\right)+1=\frac{s^{2}}{4}-\frac{s}{2}+1.
Coloco em denominador comum 4:
\frac{s^{2}}{4}-\frac{s}{2}+1=\frac{s^{2}-2s+4}{4}.
Agora o denominador de F\!\left(\dfrac{s}{2}\right):
\bigl(2\cdot\frac{s}{2}+1\bigr)^{2}\!\bigl(\tfrac{s}{2}-1\bigr).
Calculo cada fator: 2\cdot\frac{s}{2}+1=s+1, então (s+1)^{2} é o primeiro fator ao quadrado. O segundo é \tfrac{s}{2}-1=\tfrac{s-2}{2}. Portanto o denominador inteiro é
(s+1)^{2}\cdot\frac{s-2}{2}=\frac{(s+1)^{2}(s-2)}{2}.

Passo 5

Agora divido o numerador pelo denominador para obter F\!\left(\dfrac{s}{2}\right):
F\!\left(\frac{s}{2}\right)=\frac{\dfrac{s^{2}-2s+4}{4}}{\dfrac{(s+1)^{2}(s-2)}{2}}.
Dividir frações equivale a multiplicar pelo inverso:
F\!\left(\frac{s}{2}\right)=\frac{s^{2}-2s+4}{4}\cdot\frac{2}{(s+1)^{2}(s-2)}.
Simplifico o fator numérico \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}:
F\!\left(\frac{s}{2}\right)=\frac{s^{2}-2s+4}{2\,(s+1)^{2}(s-2)}.

Passo 6

Lembro que \mathcal{L}\{f(2t)\}=\dfrac{1}{2}F\!\left(\dfrac{s}{2}\right). Multiplicando por 1/2 o resultado do passo anterior:
\mathcal{L}\{f(2t)\}=\frac{1}{2}\cdot\frac{s^{2}-2s+4}{2\,(s+1)^{2}(s-2)}=\frac{s^{2}-2s+4}{4\,(s+1)^{2}(s-2)}.
Pronto — chegamos exatamente à expressão pedida.

Resposta

\frac{s^{2}-2s+4}{4(s+1)^{2}(s-2)}

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