Questão 30. (AFA) Se
.
a)
.
b)
pode ser escrito na forma
.
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá o número
e pede que eu diga quais das afirmativas abaixo são verdadeiras:
a) .
b) pode ser escrito na forma
.
c) .
a)
b)
c)
Lista das informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão de
é um produto de quatro radicais aninhados. - Não há mais dados externos; tudo que preciso está nessa expressão.
Passo 2
Objetivo imediato: calcular o valor exato de
. Uma boa estratégia é reconhecer padrões de radicais ligados a identidades trigonométricas de ângulos do tipo
. Vou mostrar o porquê dessa ideia funcionar com cuidado.
Passo 3
Primeiro passo técnico: relacionar
com cosseno de ângulo conhecido.
Sabemos que
. Então
Expliquei:
vale
, multiplicando ambos os lados por 2 obtemos a identidade acima.
Passo 4
Agora considero
. Use a fórmula de meia-ângulo para cosseno:
Escolho
. Então
Logo
Expliquei: apliquei a fórmula da meia-ângulo e manipulei frações para isolar o radical.
Passo 5
Para o radical seguinte
uso a mesma ideia: tomando meia-ângulo novamente,
portanto
Explicação: a estrutura é análoga ao passo anterior, apenas com
.
Passo 6
Falta o quarto fator
. Já definimos
. Então esse fator é
Agora uso a identidade
. Com
obtemos
Portanto
já que
. Assim
Expliquei: reescrevi
radical como
e usei a identidade trigonométrica para transformar em seno; a raiz dá um fator
.
Passo 7
Substituo todas as expressões achadas na definição de
. Temos
Logo
Passo 8
Multiplico os fatores numéricos:
Agora simplifico usando identidades trigonométricas. Primeiro note que
porque
. Aqui
.
Passo 9
Substituindo o resultado anterior:
Passo 10
Use novamente
, agora com
. Assim
E sabemos que
. Portanto
Passo 11
Substituo em
:
Mas
. Logo
Passo 12
Multiplico cuidadosamente:
Então
Conclusão: o valor exato de
é
.
Passo 13
Agora verifico cada alternativa com
:
a) Afirma que
, isto é, real não natural. Como
e
, a alternativa (a) é falsa.
b) Afirma que
pode ser escrito como
com
. Como
e
, a alternativa (b) é verdadeira.
c) Afirma que
, ou seja, é racional não inteiro ou irracional. Como
é um inteiro, não pertence nem a
nem a
. Portanto (c) é falsa.
Resposta
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso