Questão 30. (AFA) Se
\alpha=\sqrt{2} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.
a) \alpha \in(\mathrm{IR}-\mathrm{IN}).
b) \alpha pode ser escrito na forma \alpha=2 k, k \in Z.
c) \alpha \in[(Q-Z) \cup(I R-Q).

Passo 1

O enunciado dá o número
\alpha=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}
e pede que eu diga quais das afirmativas abaixo são verdadeiras:
a) \alpha\in(\mathbb{R}-\mathbb{N}).
b) \alpha pode ser escrito na forma \alpha=2k,\;k\in\mathbb{Z}.
c) \alpha\in\big((\mathbb{Q}-\mathbb{Z})\cup(\mathbb{R}-\mathbb{Q})\big).
Lista das informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão de \alpha é um produto de quatro radicais aninhados.
  • Não há mais dados externos; tudo que preciso está nessa expressão.

Passo 2

Objetivo imediato: calcular o valor exato de \alpha. Uma boa estratégia é reconhecer padrões de radicais ligados a identidades trigonométricas de ângulos do tipo \pi/2^n. Vou mostrar o porquê dessa ideia funcionar com cuidado.

Passo 3

Primeiro passo técnico: relacionar \sqrt{2} com cosseno de ângulo conhecido.
Sabemos que \cos\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Então
\sqrt{2}=2\cos\frac{\pi}{4}.
Expliquei: \cos(\pi/4) vale \sqrt{2}/2, multiplicando ambos os lados por 2 obtemos a identidade acima.

Passo 4

Agora considero \sqrt{2+\sqrt{2}}. Use a fórmula de meia-ângulo para cosseno:
\cos\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}.
Escolho \theta=\frac{\pi}{4}. Então
\cos\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} =\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} =\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.
Logo
\sqrt{2+\sqrt{2}}=2\cos\frac{\pi}{8}.
Expliquei: apliquei a fórmula da meia-ângulo e manipulei frações para isolar o radical.

Passo 5

Para o radical seguinte \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} uso a mesma ideia: tomando meia-ângulo novamente,
\cos\frac{\pi}{16}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2},
portanto
\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2\cos\frac{\pi}{16}.
Explicação: a estrutura é análoga ao passo anterior, apenas com \theta=\pi/8.

Passo 6

Falta o quarto fator \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}. Já definimos \sqrt{2+\sqrt{2}}=2\cos\frac{\pi}{8}. Então esse fator é
\sqrt{2-2\cos\frac{\pi}{8}}=\sqrt{2\big(1-\cos\frac{\pi}{8}\big)}.
Agora uso a identidade 1-\cos\theta=2\sin^2\frac{\theta}{2}. Com \theta=\frac{\pi}{8} obtemos
1-\cos\frac{\pi}{8}=2\sin^2\frac{\pi}{16}.
Portanto
\sqrt{2-2\cos\frac{\pi}{8}}=\sqrt{2\cdot 2\sin^2\frac{\pi}{16}}=\sqrt{4\sin^2\frac{\pi}{16}}=2\sin\frac{\pi}{16},
já que \sin\frac{\pi}{16}>0. Assim
\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2\sin\frac{\pi}{16}.
Expliquei: reescrevi 2- radical como 2-2\cos e usei a identidade trigonométrica para transformar em seno; a raiz dá um fator 2\sin(\pi/16).

Passo 7

Substituo todas as expressões achadas na definição de \alpha. Temos
\sqrt{2}=2\cos\frac{\pi}{4},\quad \sqrt{2+\sqrt{2}}=2\cos\frac{\pi}{8},\quad \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2\cos\frac{\pi}{16},\quad \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2\sin\frac{\pi}{16}.
Logo
\alpha=(2\cos\tfrac{\pi}{4})\,(2\cos\tfrac{\pi}{8})\,(2\cos\tfrac{\pi}{16})\,(2\sin\tfrac{\pi}{16}).

Passo 8

Multiplico os fatores numéricos:
\alpha=16\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{16}\sin\frac{\pi}{16}.
Agora simplifico usando identidades trigonométricas. Primeiro note que
\cos\frac{\pi}{16}\sin\frac{\pi}{16}=\tfrac{1}{2}\sin\frac{\pi}{8},
porque \sin(2x)=2\sin x\cos x. Aqui 2x=\frac{\pi}{8}.

Passo 9

Substituindo o resultado anterior:
\alpha=16\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{8}\cdot\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{8}=8\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8}.

Passo 10

Use novamente \sin(2x)=2\sin x\cos x, agora com x=\frac{\pi}{8}. Assim
\cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8}=\tfrac{1}{2}\sin\frac{\pi}{4}.
E sabemos que \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. Portanto
\cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}.

Passo 11

Substituo em \alpha:
\alpha=8\cos\frac{\pi}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}.
Mas \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. Logo
\alpha=8\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}.

Passo 12

Multiplico cuidadosamente:
\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
Então
\alpha=8\cdot\frac{1}{4}=2.
Conclusão: o valor exato de \alpha é 2.

Passo 13

Agora verifico cada alternativa com \alpha=2:
a) Afirma que \alpha\in(\mathbb{R}-\mathbb{N}), isto é, real não natural. Como \alpha=2 e 2\in\mathbb{N}, a alternativa (a) é falsa.
b) Afirma que \alpha pode ser escrito como \alpha=2k com k\in\mathbb{Z}. Como \alpha=2=2\cdot 1 e 1\in\mathbb{Z}, a alternativa (b) é verdadeira.
c) Afirma que \alpha\in\big((\mathbb{Q}-\mathbb{Z})\cup(\mathbb{R}-\mathbb{Q})\big), ou seja, é racional não inteiro ou irracional. Como \alpha=2 é um inteiro, não pertence nem a \mathbb{Q}-\mathbb{Z} nem a \mathbb{R}-\mathbb{Q}. Portanto (c) é falsa.

Resposta

(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso

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