Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de
\vec{F}=(x-y) \vec{i}+(y-z) \vec{j}+(z-x) \vec{k}
fora da esfera unitária.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec F=(x-y)\,\vec i+(y-z)\,\vec j+(z-x)\,\vec k “fora da esfera unitária”, ou seja, através da superfície S definida por x^2+y^2+z^2=1, considerando o domínio exterior ao interior do volume B (bola de raio 1). Para resolver, usamos o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de \vec F pela fronteira de um volume ao integral triplo da divergência de \vec F dentro desse volume.

Passo 2

Calcular a divergência de \vec F:
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(x-y) +\frac{\partial}{\partial y}(y-z) +\frac{\partial}{\partial z}(z-x) =1+1+1=3.

Passo 3

Aplicamos o Teorema da Divergência ao volume interno B (bola de raio 1). Com a normal \vec n apontando para fora de B,
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{B}(\nabla\cdot\vec F)\,dV =\iiint_{B}3\,dV =3\cdot\frac{4\pi}{3}\,1^3 =4\pi.

Passo 4

O fluxo calculado em
\Phi_{\text{exterior}}=-\Phi_{\text{interior}} =-4\pi.

Resposta

-4\pi

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