Questão 28 Esboce os gráficos das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas: a função é definida por
. Não há outras informações ou imagens.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Domínio e imagem — o que isso significa e como obter:
- Definição rápida:
é a função inversa da função quando esta é restrita ao intervalo . Isso significa que pega qualquer número real e devolve um ângulo tal que . - Portanto o domínio de
é todo o conjunto dos números reais e sua imagem é o intervalo aberto .
Em notação:
(Interpretação prática para o desenho: o gráfico se estende para a direita e esquerda sem cortes, mas seus valores ficam sempre entre
e
.)
Passo 3
Limites nas extremidades e assíntotas horizontais — por que aparecem:
- Como
a imagem do ângulo correspondente pela tangente deve se aproximar de (mas nunca atingi‑la, porque tende a quando o ângulo se aproxima de pela esquerda). Logo
- Similarmente, quando
,
- Conclusão para o esboço: o gráfico tem assíntotas horizontais nas retas
e .
Passo 4
Continuidade e derivabilidade — por que isso nos ajuda a desenhar:
- A função
é contínua e derivável em todo . Isto significa que seu gráfico é uma curva suave, sem quebras nem cantos.
Passo 5
Derivada primeira — monotonicidade (como provar e interpretar):
- Vamos obter
por diferenciação implícita. Seja . Então . Diferenciando ambos os lados em relação a :
Assim
- Observação importante:
para todo . Portanto é estritamente crescente em todo o domínio. - Interpretação para o esboço: a curva sobe continuamente da assíntota inferior para a superior.
Passo 6
Derivada segunda — concavidade e ponto de inflexão:
- Diferenciando
obtemos a segunda derivada:
- O sinal de
determina a concavidade: - Para
temos então a segunda derivada é positiva: curva côncava para cima. - Para
a segunda derivada é negativa: curva côncava para baixo. - Em
a segunda derivada é zero e troca de sinal: ponto de inflexão em .
- Para
- Conclusão prática: o gráfico tem um S suave passando por
, subindo com concavidade para cima à esquerda do eixo e para baixo à direita.
Passo 7
Pontos notáveis e valores numéricos úteis para desenhar:
- Intercepto com os eixos:
. Então o gráfico passa pela origem . - Alguns valores exatos fáceis:
- Em aproximações decimais (úteis para marcar no papel):
- Também útil: a inclinação no ponto
é . Assim a reta tangente em é — isso ajuda a posicionar a passagem pelo origin corretamente.
Passo 8
Simetria da função — simplifica o desenho:
- Verificação:
. Então é uma função ímpar, o gráfico é simétrico em relação à origem. Isso permite desenhar a metade positiva e refletir para a negativa.
Passo 9
Como esboçar passo a passo (receita de prova, para fazer rápido e bem):
- Trace os eixos
e . - Desenhe linhas horizontais pontilhadas em
e (assíntotas horizontais). - Marque os pontos
, e . Se quiser marque também . - No ponto
desenhe ligeiramente a reta como tangente (só um traço curto) para acertar a inclinação inicial. - Desenhe uma curva suave, estritamente crescente, que é côncava para cima quando
, passa por com inclinação , e fica côncava para baixo quando , aproximando‑se das assíntotas horizontais conforme . Use a simetria ímpar para checar a parte negativa. - Verifique visualmente: à direita a curva nunca ultrapassa
, à esquerda nunca fica abaixo de .
Passo 10
Resumo qualitativo final (para checar durante a prova):
- Função definida para todo
, cresce sempre, tem comportamento tipo “S” passando pela origem, aproxima horizontalmente quando , sem descontinuidades, com inflexão em .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Assíntotas horizontais: e
Intercepto: (ponto
)
Monotonicidade: estritamente crescente em (pois
)
Concavidade: côncava para cima em , côncava para baixo em
, ponto de inflexão em
(pois
)
Simetria: ímpar ( ), simetria em relação à origem; esboço: curva em “S” passando por
, aproximando as retas
nas extremidades.
Imagem:
Assíntotas horizontais:
Intercepto:
Monotonicidade: estritamente crescente em
Concavidade: côncava para cima em
Simetria: ímpar (