Questão 28 Esboce os gráficos das seguintes funções
c(x)=\arctan (x)

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função c(x)=\arctan(x).
Informações dadas: a função é c definida por c(x)=\arctan(x). Não há outras informações ou imagens.

Passo 2

Domínio e imagem — o que isso significa e como obter:
  • Definição rápida: \arctan é a função inversa da função \tan quando esta é restrita ao intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Isso significa que \arctan pega qualquer número real x e devolve um ângulo y\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) tal que \tan(y)=x.
  • Portanto o domínio de \arctan é todo o conjunto dos números reais e sua imagem é o intervalo aberto \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).
    Em notação:
\text{Domínio: }\mathbb{R},\qquad \text{Imagem: }\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).í
(Interpretação prática para o desenho: o gráfico se estende para a direita e esquerda sem cortes, mas seus valores ficam sempre entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}.)

Passo 3

Limites nas extremidades e assíntotas horizontais — por que aparecem:
  • Como x\to+\infty a imagem do ângulo correspondente pela tangente deve se aproximar de \tfrac{\pi}{2} (mas nunca atingi‑la, porque \tan tende a +\infty quando o ângulo se aproxima de \tfrac{\pi}{2} pela esquerda). Logo
\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)=\tfrac{\pi}{2}.
  • Similarmente, quando x\to-\infty,
\lim_{x\to-\infty}\arctan(x)=-\tfrac{\pi}{2}.
  • Conclusão para o esboço: o gráfico tem assíntotas horizontais nas retas y=\tfrac{\pi}{2} e y=-\tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Continuidade e derivabilidade — por que isso nos ajuda a desenhar:
  • A função \arctan é contínua e derivável em todo \mathbb{R}. Isto significa que seu gráfico é uma curva suave, sem quebras nem cantos.

Passo 5

Derivada primeira — monotonicidade (como provar e interpretar):
  • Vamos obter \dfrac{d}{dx}\arctan(x) por diferenciação implícita. Seja y=\arctan(x). Então x=\tan(y). Diferenciando ambos os lados em relação a x:
1=\operatorname{sec}^2(y)\,\frac{dy}{dx}.
Assim
\frac{dy}{dx}=\cos^2(y)=\frac{1}{1+\tan^2(y)}=\frac{1}{1+x^2}.
  • Observação importante: \dfrac{1}{1+x^2}>0 para todo x\in\mathbb{R}. Portanto \arctan(x) é estritamente crescente em todo o domínio.
  • Interpretação para o esboço: a curva sobe continuamente da assíntota inferior para a superior.

Passo 6

Derivada segunda — concavidade e ponto de inflexão:
  • Diferenciando \dfrac{1}{1+x^2} obtemos a segunda derivada:
\frac{d^2}{dx^2}\arctan(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}.
  • O sinal de -\dfrac{2x}{(1+x^2)^2} determina a concavidade:
    • Para x<0 temos -2x>0 então a segunda derivada é positiva: curva côncava para cima.
    • Para x>0 a segunda derivada é negativa: curva côncava para baixo.
    • Em x=0 a segunda derivada é zero e troca de sinal: ponto de inflexão em x=0.
  • Conclusão prática: o gráfico tem um S suave passando por (0,0), subindo com concavidade para cima à esquerda do eixo y e para baixo à direita.

Passo 7

Pontos notáveis e valores numéricos úteis para desenhar:
  • Intercepto com os eixos: c(0)=\arctan(0)=0. Então o gráfico passa pela origem (0,0).
  • Alguns valores exatos fáceis:
\arctan(1)=\tfrac{\pi}{4},\qquad \arctan(-1)=-\tfrac{\pi}{4},\qquad \arctan(\sqrt{3})=\tfrac{\pi}{3}.
  • Em aproximações decimais (úteis para marcar no papel):
\tfrac{\pi}{2}\approx 1,5708,\qquad \tfrac{\pi}{4}\approx 0,7854,\qquad \tfrac{\pi}{3}\approx 1,0472.
  • Também útil: a inclinação no ponto 0 é \dfrac{d}{dx}\arctan(0)=1. Assim a reta tangente em 0 é y=x — isso ajuda a posicionar a passagem pelo origin corretamente.

Passo 8

Simetria da função — simplifica o desenho:
  • Verificação: \arctan(-x)=-\arctan(x). Então \arctan é uma função ímpar, o gráfico é simétrico em relação à origem. Isso permite desenhar a metade positiva e refletir para a negativa.

Passo 9

Como esboçar passo a passo (receita de prova, para fazer rápido e bem):
  1. Trace os eixos x e y.
  2. Desenhe linhas horizontais pontilhadas em y=\tfrac{\pi}{2} e y=-\tfrac{\pi}{2} (assíntotas horizontais).
  3. Marque os pontos (0,0), (1,\tfrac{\pi}{4}) e (-1,-\tfrac{\pi}{4}). Se quiser marque também (\sqrt{3},\tfrac{\pi}{3}).
  4. No ponto 0 desenhe ligeiramente a reta y=x como tangente (só um traço curto) para acertar a inclinação inicial.
  5. Desenhe uma curva suave, estritamente crescente, que é côncava para cima quando x<0, passa por (0,0) com inclinação 1, e fica côncava para baixo quando x>0, aproximando‑se das assíntotas horizontais conforme x\to\pm\infty. Use a simetria ímpar para checar a parte negativa.
  6. Verifique visualmente: à direita a curva nunca ultrapassa y=\tfrac{\pi}{2}, à esquerda nunca fica abaixo de y=-\tfrac{\pi}{2}.

Passo 10

Resumo qualitativo final (para checar durante a prova):
  • Função definida para todo x, cresce sempre, tem comportamento tipo “S” passando pela origem, aproxima horizontalmente \pm\tfrac{\pi}{2} quando x\to\pm\infty, sem descontinuidades, com inflexão em x=0.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)
Assíntotas horizontais: y=\tfrac{\pi}{2} e y=-\tfrac{\pi}{2}
Intercepto: c(0)=0 (ponto (0,0))
Monotonicidade: estritamente crescente em \mathbb{R} (pois \tfrac{d}{dx}\arctan(x)=\tfrac{1}{1+x^2}>0)
Concavidade: côncava para cima em x<0, côncava para baixo em x>0, ponto de inflexão em x=0 (pois \tfrac{d^2}{dx^2}\arctan(x)=-\tfrac{2x}{(1+x^2)^2})
Simetria: ímpar ( \arctan(-x)=-\arctan(x)), simetria em relação à origem; esboço: curva em “S” passando por (0,0), aproximando as retas y=\pm\tfrac{\pi}{2} nas extremidades.

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