QUESTÃO 28
O valor de \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}+2 x^{2}-2}{1-x^{3}} é igual a:
(A) 0 .
(B) 1 .
C 2 .
(D) +\infty.
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado pede o valor de \lim_{x\to -\infty} \dfrac{x^{3}+2x^{2}-2}{1-x^{3}}.\n
Informações dadas e dados relevantes:
  • O numerador é o polinômio \;x^{3}+2x^{2}-2\; (grau 3, coeficiente líder 1).
  • O denominador é o polinômio \;1-x^{3}\; (ao reescrever, -x^{3}+1, grau 3, coeficiente líder -1).
  • A pergunta é: qual é o valor do limite quando x tende a -\infty?

Passo 2

Conceito principal que vamos usar (explicação didática): para limites quando x\to\pm\infty de uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} com P e Q polinômios, o termo de maior grau domina o comportamento. Há três casos comuns:
  • Se o grau de P é menor que o grau de Q, então \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0. Intuição: o denominador cresce mais rápido.
  • Se os graus são iguais, o limite é o quociente dos coeficientes líderes (porque os termos de menor ordem viram “pulverizados” ao dividir pelo termo de maior grau).
  • Se o grau de P é maior que o de Q, o valor em módulo tende a \infty (e o sinal depende dos coeficientes líderes e do sinal de x se o grau é ímpar).
Aqui ambos têm grau 3, então podemos usar o método de dividir numerador e denominador por x^{3} para evidenciar os termos dominantes.

Passo 3

Vamos dividir numerador e denominador por x^{3}. Escrevemos a expressão assim:
\frac{x^{3}+2x^{2}-2}{1-x^{3}} = \frac{\displaystyle 1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^{3}}}{\displaystyle \frac{1}{x^{3}}-1}.
Explicando cada passo: dividimos cada termo do numerador por x^{3} e cada termo do denominador por x^{3}. Note que \dfrac{1}{x^{3}-} no denominador aparece como \dfrac{1}{x^{3}}-1 porque 1-x^{3} dividido por x^{3} é \dfrac{1}{x^{3}}-1.

Passo 4

Agora avaliamos o limite termo a termo quando x\to -\infty:
  • \dfrac{2}{x}\to 0 porque x vai para infinito em módulo;
  • \dfrac{2}{x^{3}}\to 0;
  • \dfrac{1}{x^{3}}\to 0.
    Portanto o numerador da fração tende a 1 e o denominador tende a -1. Assim
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}-2}{1-x^{3}} = \frac{1}{-1} = -1.

Passo 5

Verificação por coeficientes líderes (resumo rápido): o termo líder do numerador é \;1\cdot x^{3}\; e do denominador é -1\cdot x^{3}. Como os graus são iguais, o limite é \dfrac{1}{-1}=-1. Isso confirma o resultado obtido no passo anterior.

Passo 6

Observação sobre as alternativas: as opções dadas eram (A)\;0, (B)\;1, \text{(C)}\;2, (D)\;+\infty, (E) Outro resultado. O valor que encontramos foi -1, que não aparece em A–D, logo a alternativa correta é a (E). Estou mandando uma energia positiva: isso era só aplicar a ideia dos termos dominantes — tranquilo de lembrar na prova!

Resposta

(E) -1

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