QUESTÃO 27
O valor de \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x-1}{x+10} é igual a:
(A) 0 .
(B) 1 .
C 2 .
(D) +\infty.
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o valor de \lim_{x\to\infty}\dfrac{2x-1}{x+10}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{função: }\frac{2x-1}{x+10},\qquad\text{limite a ser calculado: }x\to\infty.çã
As alternativas oferecidas são: (A) \,0. (B) \,1. (C) \,2. (D) \,+\infty. (E) Outro resultado.
Agora vamos calcular esse limite passo a passo.

Passo 2

Estratégia padrão (explicação didática): para limites quando x\to\infty de uma razão entre polinômios, uma maneira segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x, grau 1). Isso “normaliza” a expressão e permite ver claramente quais termos desaparecem quando x cresce sem limite. Também existe a regra prática: se graus dos polinômios são iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes — vou mostrar ambas as abordagens.

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por x. Faço isso termo a termo:
\frac{2x-1}{x+10}=\frac{\dfrac{2x}{x}-\dfrac{1}{x}}{\dfrac{x}{x}+\dfrac{10}{x}}.
Simplificando cada fração interna obtemos:
\frac{2x-1}{x+10}=\frac{2-\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{10}{x}}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento dos termos \dfrac{1}{x} e \dfrac{10}{x} quando x\to\infty. Intuição: conforme x cresce muito, \dfrac{1}{x} fica cada vez menor, aproximando-se de 0. Formalmente, para qualquer \varepsilon>0, se escolhermos X>\dfrac{1}{\varepsilon} então para todo x>X temos
\left|\frac{1}{x}-0\right|=\frac{1}{x}<\varepsilon,
logo \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0. O mesmo vale para \dfrac{10}{x}, pois \dfrac{10}{x}=10\cdot\dfrac{1}{x} e 10\cdot 0=0, portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{10}{x}=0.

Passo 5

Usando propriedades de limites (a soma, subtração e produto por constante preservam limites) podemos passar ao limite da expressão obtida no Passo 3:
\lim_{x\to\infty}\frac{2-\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{10}{x}} =\frac{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(2-\dfrac{1}{x}\right)}{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{10}{x}\right)}.
Como \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0 e \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{10}{x}=0, temos
\lim_{x\to\infty}\left(2-\dfrac{1}{x}\right)=2-0=2, \qquad \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{10}{x}\right)=1+0=1.

Passo 6

Portanto o limite original vale
\lim_{x\to\infty}\frac{2x-1}{x+10}=\frac{2}{1}=2.

Passo 7

Verificação alternativa (regra dos graus): tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 1. Quando os graus são iguais, o limite quando x\to\infty é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. No numerador o coeficiente líder é 2 (do termo 2x) e no denominador é 1 (do termo x), então o limite é \dfrac{2}{1}=2, coincidindo com o cálculo anterior.

Passo 8

Conclusão final e ligação com as alternativas: o valor do limite é 2, que corresponde à alternativa (C).

Resposta

C) \,2

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