O valor de \lim _{x \rightarrow 2} \frac{4 \operatorname{sen}\left(x^{2}+x-6\right)}{\operatorname{sen}\left(x^{2}-4\right)} é igual a:
(A) 1 .
(B) 3 .
Ao substituir x=2 nas expressões dentro dos senos obtemos
x^{2}+x-6\big|_{x=2}=4+2-6=0,
x^{2}-4\big|_{x=2}=4-4=0.
Portanto, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando x\to 2, e temos uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. A resolução começa agora.
Passo 2
Ferramenta-chave que vamos usar: o limite fundamental dos senos. Ele diz que, quando t\to 0,
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Intuição rápida (sem formalidade excessiva): quando o argumento é pequeno, \operatorname{sen} t comporta-se quase igual a t, então a razão vale 1. Esse resultado nos permite trocar \operatorname{sen} por seu próprio argumento, desde que tratemos a situação com cuidado (faremos uma decomposição algébrica abaixo).
Passo 3
Para manipular a razão, defina
u_1(x)=x^{2}+x-6, \qquad u_2(x)=x^{2}-4.
Note que u_1(2)=0 e u_2(2)=0, ou seja, u_1\to 0 e u_2\to 0 quando x\to 2.
Passo 4
Reescrevemos a expressão original usando u_1 e u_2:
Essa identidade é apenas multiplicar e dividir por u_1 e u_2; é válida quando u_1,u_2\neq 0 (e estamos estudando o comportamento quando se aproximam de zero).
Passo 5
Tomando limites quando x\to 2 (portanto u_1\to 0 e u_2\to 0), podemos usar o limite \lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1. Assim,
Portanto o valor do limite pedido é 5. Relaxa: fizemos a parte chave usando o limite \lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1 e uma redução algébrica simples — técnica bem útil para evitar indeterminações do tipo \tfrac{0}{0}.