QUESTÃO 20

O valor de \lim _{x \rightarrow 2} \frac{4 \operatorname{sen}\left(x^{2}+x-6\right)}{\operatorname{sen}\left(x^{2}-4\right)} é igual a:
(A) 1 .
(B) 3 .
C 4 .
(D) 5 .
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite:
\lim_{x\to 2} \frac{4\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+x-6\bigr)}{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-4\bigr)}.
Informações dadas e observações iniciais (tudo que o enunciado fornece):
\text{Numerador: }4\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+x-6\bigr).
\text{Denominador: }\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-4\bigr).
Ao substituir x=2 nas expressões dentro dos senos obtemos
x^{2}+x-6\big|_{x=2}=4+2-6=0,
x^{2}-4\big|_{x=2}=4-4=0.
Portanto, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando x\to 2, e temos uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. A resolução começa agora.

Passo 2

Ferramenta-chave que vamos usar: o limite fundamental dos senos. Ele diz que, quando t\to 0,
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Intuição rápida (sem formalidade excessiva): quando o argumento é pequeno, \operatorname{sen} t comporta-se quase igual a t, então a razão vale 1. Esse resultado nos permite trocar \operatorname{sen} por seu próprio argumento, desde que tratemos a situação com cuidado (faremos uma decomposição algébrica abaixo).

Passo 3

Para manipular a razão, defina
u_1(x)=x^{2}+x-6, \qquad u_2(x)=x^{2}-4.
Note que u_1(2)=0 e u_2(2)=0, ou seja, u_1\to 0 e u_2\to 0 quando x\to 2.

Passo 4

Reescrevemos a expressão original usando u_1 e u_2:
\frac{4\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+x-6\bigr)}{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-4\bigr)}=4\cdot\frac{\operatorname{sen}\bigl(u_1(x)\bigr)}{\operatorname{sen}\bigl(u_2(x)\bigr)}.
Agora decomponha a razão entre senos em fatores que envolvem \frac{\operatorname{sen} t}{t}, para aplicar o limite conhecido:
\frac{\operatorname{sen}(u_1)}{\operatorname{sen}(u_2)} = \frac{\operatorname{sen}(u_1)}{u_1}\cdot\frac{u_1}{u_2}\cdot\frac{u_2}{\operatorname{sen}(u_2)}.
Essa identidade é apenas multiplicar e dividir por u_1 e u_2; é válida quando u_1,u_2\neq 0 (e estamos estudando o comportamento quando se aproximam de zero).

Passo 5

Tomando limites quando x\to 2 (portanto u_1\to 0 e u_2\to 0), podemos usar o limite \lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1. Assim,
\lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{sen}(u_1)}{\operatorname{sen}(u_2)} = \lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{sen}(u_1)}{u_1}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{u_1}{u_2}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{u_2}{\operatorname{sen}(u_2)}.
Os dois limites das pontas valem 1 devido ao limite fundamental dos senos:
\lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{sen}(u_1)}{u_1}=1, \qquad \lim_{x\to 2}\frac{u_2}{\operatorname{sen}(u_2)}=1.
Portanto
\lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{sen}(u_1)}{\operatorname{sen}(u_2)}=\lim_{x\to 2}\frac{u_1}{u_2}.

Passo 6

Logo o limite original reduz-se a
\lim_{x\to 2}\frac{4\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+x-6\bigr)}{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-4\bigr)} =4\cdot\lim_{x\to 2}\frac{u_1(x)}{u_2(x)} =4\cdot\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-4}.

Passo 7

Calcule a razão algébrica \dfrac{x^{2}+x-6}{x^{2}-4}. Fatore ambos os polinômios:
x^{2}+x-6=(x-2)(x+3),
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Para x\neq 2 podemos cancelar o fator comum (x-2):
\frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-4}=\frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+3}{x+2}.

Passo 8

Agora tome o limite simples da função racional resultante quando x\to 2:
\lim_{x\to 2}\frac{x+3}{x+2}=\frac{2+3}{2+2}=\frac{5}{4}.
Multiplicando pelo 4 que estava fora:
4\cdot\frac{5}{4}=5.

Passo 9

Portanto o valor do limite pedido é 5. Relaxa: fizemos a parte chave usando o limite \lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1 e uma redução algébrica simples — técnica bem útil para evitar indeterminações do tipo \tfrac{0}{0}.

Resposta

5

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