Questão 29 Calcule os valores
\arctan (1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \arctan(1). Informações relevantes que temos:
  • \arctan é a função inversa da tangente restrita ao intervalo principal.
  • A tangente de um ângulo \theta é definida por \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}.
  • O valor principal de \arctan retorna um ângulo em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).

Passo 2

Entender o que significa \arctan(1): é o ângulo cujo seno dividido pelo cosseno dá 1. Em outras palavras, é a solução principal da equação
\tan\theta=1.
Vamos encontrar um ângulo \theta no intervalo \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) que satisfaça isso.

Passo 3

Lembrar de um valor conhecido: para \theta=\dfrac{\pi}{4} (isto é, 45^\circ) temos
\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Então
\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} =\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=1.

Passo 4

Como \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1 e \dfrac{\pi}{4}\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right), a definição da função inversa dá
\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}.
Observação útil: a equação \tan x=1 tem infinitas soluções gerais dadas por
x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
mas a função \arctan retorna apenas o valor principal \dfrac{\pi}{4}. Em graus, \dfrac{\pi}{4}=45^\circ.

Resposta

\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}
Soluções gerais de \tan x=1: x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}

Exercícios relacionados