—— Questão 30. i) Escreva a função
f(x)=\frac{x e^{x t}}{e^{x}-1}, \quad f(0)=1
como uma série de potência da forma
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} B_{k}(t) \frac{x^{k}}{k!}
sugestão: Use que e^{y}=\sum_{k=0}^{\infty} y^{k} / k! e a identidade \left.e^{x} / e^{x}-1\right)=\sum_{k=0}^{\infty} e^{-k x}, x>0.
ii) Mostre que B_{0}(t)=1 e B_{k}^{\prime}(t)=k B_{k-1}(t) para todo k \geq 1.
iii) Calcule explicitamente os polinômios B_{1}(t), B_{2}(t), B_{3}(t), B_{4}(t).
iv) Mostre que
\int_{0}^{1} B_{k}(t)=0, \quad k \geq 1
v) Mostre que B_{k}(1-t)=(-1)^{k} B_{k}(t).
vi) Mostre que B_{2 k+1}(0)=B_{2 k+1}(1)=0, k \geq 1 e B_{2 k}(0)=B_{2 k}(1), k \geq 0.
Obs. Os números B_{k}=B_{k}(0) são conhecidos como números de Bernoulli.

Passo 1

O enunciado nos apresenta a geração dos chamados polinômios de Bernoulli B_{k}(t) pela função geradora
f(x)=\frac{x\,e^{x t}}{e^{x}-1} \quad\text{com}\quad f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}B_{k}(t)\,\frac{x^{k}}{k!},
e pede, em sequência:
i) mostrar essa expansão usando e^{y}=\sum_{k\ge0}y^{k}/k! e a identidade
\frac{e^{x}}{e^{x}-1}=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n x},\quad x>0;
ii) provar B_{0}(t)=1 e B_{k}'(t)=k\,B_{k-1}(t);
iii) calcular explicitamente B_{1},B_{2},B_{3},B_{4};
iv) mostrar \int_{0}^{1}B_{k}(t)=0 para k\ge1;
v) provar B_{k}(1-t)=(-1)^{k}B_{k}(t);
vi) deduzir valores em t=0,1.
Vamos usar expansão de séries, diferenciação termo a termo e propriedades da função geradora.

Passo 2

Para a parte i) usamos
\frac{1}{e^{x}-1}=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n x},
logo
f(x)=x\,e^{x t}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n x} =\sum_{n=1}^{\infty}x\,e^{(t-n)x}.
Expandindo e^{(t-n)x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(t-n)^{k}}{k!}\,x^{k}, vem
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(t-n)^{k}}{k!}\,x^{k+1} =\sum_{m=1}^{\infty}\Bigl[m\,\sum_{n=1}^{\infty}(t-n)^{\,m-1}\Bigr]\frac{x^{m}}{m!}.
Comparando com \sum_{k=0}^\infty B_k(t)\,x^k/k!, identificamos
B_{0}(t)=f(0)=1, \qquad B_{m}(t)=m\sum_{n=1}^{\infty}(t-n)^{\,m-1}\quad(m\ge1).

Passo 3

Para a parte ii) diferenciamos sob o sinal de soma em
\sum_{k=0}^\infty B_k(t)\,\frac{x^k}{k!} =f(x)=\frac{x\,e^{x t}}{e^x-1}.
Como \partial_t f(x)=x^2e^{xt}/(e^x-1)=x\cdot f(x), obtemos
\sum_{k=0}^\infty B_k'(t)\,\frac{x^k}{k!} =\sum_{k=0}^\infty B_k(t)\,\frac{x^{k+1}}{k!} =\sum_{k=1}^\infty k\,B_{k-1}(t)\,\frac{x^k}{k!}.
Pelo confronto de coeficientes surge
B_0(t)=1, \quad B_k'(t)=k\,B_{k-1}(t)\quad(k\ge1).

Passo 4

Para calcular B_1,B_2,B_3,B_4 basta usar B_0(t)=1 e a recorrência B_k'=k\,B_{k-1}, determinando constantes pela condição \int_0^1B_k=0 (ou valores conhecidos em t=0):
1. k=1:
B_1'(t)=1\cdot B_0(t)=1 \implies B_1(t)=t+C_1.
Como \int_0^1B_1=0 C_1=-\tfrac12.
Portanto
B_1(t)=t-\tfrac12.
2. k=2:
B_2'(t)=2\,B_1(t)=2\bigl(t-\tfrac12\bigr) \implies B_2(t)=t^2-t+C_2.
Usando \int_0^1B_2=0 ou B_2(0)=\tfrac16 resulta C_2=\tfrac16.
Logo
B_2(t)=t^2-t+\tfrac16.
3. k=3:
B_3'(t)=3\,B_2(t) \implies B_3(t)=t^3-\tfrac32t^2+\tfrac12t +C_3,
e B_3(0)=0 C_3=0.
B_3(t)=t^3-\tfrac32t^2+\tfrac12t.
4. k=4:
B_4'(t)=4\,B_3(t) \implies B_4(t)=t^4-2t^3+t^2 +C_4,
e B_4(0)=B_4=\!-\tfrac1{30} C_4=-\tfrac1{30}.
B_4(t)=t^4-2t^3+t^2-\tfrac1{30}.

Passo 5

Para a parte iv) note que
\int_{0}^{1}f(x)\,dt =\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^\infty B_k(t)\,\frac{x^k}{k!}\,dt =\sum_{k=0}^\infty\Bigl(\int_{0}^{1}B_k(t)\,dt\Bigr)\frac{x^k}{k!}.
Mas por definição
\int_{0}^{1}f(x)\,dt =\int_{0}^{1}\frac{x\,e^{xt}}{e^x-1}\,dt =\frac{x}{e^x-1}\,\frac{e^x-1}{x}=1.
Logo \int_{0}^{1}B_0=1 e para k\ge1
\int_{0}^{1}B_k(t)\,dt=0.

Passo 6

Para a parte v) calculamos
f(-x,1-t) =\frac{-x\,e^{-x(1-t)}}{e^{-x}-1} =\frac{x\,e^{xt}}{e^x-1} =f(x,t).
Expandindo
\sum_{k=0}^\infty B_k(1-t)\,\frac{(-x)^k}{k!} =\sum_{k=0}^\infty B_k(t)\,\frac{x^k}{k!},
resulta
B_k(1-t)=(-1)^k\,B_k(t).

Passo 7

Para a parte vi) use B_k(1-t)=(-1)^kB_k(t).
Se k=2m+1 é ímpar então B_{2m+1}(1-t)=-B_{2m+1}(t).
Em t=0 e t=1 segue
B_{2m+1}(1)=-B_{2m+1}(0),
mas sabe-se que B_{2m+1}(0)=B_{2m+1}(1) então ambos são zero.
Se k=2m é par então B_{2m}(1-t)=B_{2m}(t).
Em t=0,1
B_{2m}(1)=B_{2m}(0).

Resposta

i) A expansão é
\frac{x\,e^{xt}}{e^x-1} =\sum_{k=0}^\infty B_k(t)\,\frac{x^k}{k!},
com
B_{0}(t)=1, \quad B_{m}(t)=m\sum_{n=1}^\infty(t-n)^{m-1}\;(m\ge1).
ii)
B_0(t)=1, \quad B_k'(t)=k\,B_{k-1}(t).
iii)
B_1(t)=t-\tfrac12, \quad B_2(t)=t^2-t+\tfrac16, \quad B_3(t)=t^3-\tfrac32t^2+\tfrac12t, \quad B_4(t)=t^4-2t^3+t^2-\tfrac1{30}.
iv)
\int_{0}^{1}B_k(t)\,dt=0\quad(k\ge1).
v)
B_k(1-t)=(-1)^k\,B_k(t).
vi)
B_{2k+1}(0)=B_{2k+1}(1)=0,\quad B_{2k}(0)=B_{2k}(1)\quad(k\ge0).

Exercícios relacionados