Questão 32: A lançauma moeda honesta
vezes e
lança a mesma moeda
vezes. Qual a probabilidade de
obter mais caras que
?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que
obtenha mais caras que
, sendo que
lança uma moeda honesta
vezes e
lança a mesma moeda
vezes. O conteúdo aqui é o uso de variáveis binomiais e um argumento de simetria/pareamento para comparar duas contagens independentes.
Passo 2
Sejam
o número de caras de
e
o número de caras de
. Queremos
Passo 3
Separe as jogadas de
em duas partes: as primeiras
e a última. Defina
e escreva
onde
-
é a diferença entre o número de caras de e de nas primeiras jogadas, -
é a indicação de cara na -ésima jogada de , ou seja .
Note que
e
são independentes e
tem distribuição simétrica em torno de zero:
Passo 4
Queremos
Usando independência e analisando caso a caso em função de
:
- Se
, então para qualquer . - Se
, então só quando , com probabilidade . - Se
, então é impossível.
Portanto
Como
é simétrica,
e daí