Questão 32: A lançauma moeda honesta n+1 vezes e B lança a mesma moeda n vezes. Qual a probabilidade de A obter mais caras que B ?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que A obtenha mais caras que B, sendo que A lança uma moeda honesta n+1 vezes e B lança a mesma moeda n vezes. O conteúdo aqui é o uso de variáveis binomiais e um argumento de simetria/pareamento para comparar duas contagens independentes.

Passo 2

Sejam
Xsim Bin(n+1,tfrac12)
o número de caras de A e
Ysim Bin(n,tfrac12)
o número de caras de B. Queremos
P(X>Y)

Passo 3

Separe as jogadas de A em duas partes: as primeiras n e a última. Defina
D = X - Y,
e escreva
D = S + Z,
onde
  • S é a diferença entre o número de caras de A e de B nas primeiras n jogadas,
  • Z é a indicação de cara na (n+1)-ésima jogada de A, ou seja ZsimBernoulli(tfrac12).
Note que S e Z são independentes e S tem distribuição simétrica em torno de zero:
P(S=r)=P(S=-r)forall,r

Passo 4

Queremos
P(D>0)=P(S+Z>0)
Usando independência e analisando caso a caso em função de r=S:
  • Se r>0, então S+Z>0 para qualquer Z.
  • Se r=0, então S+Z>0 só quando Z=1, com probabilidade tfrac12.
  • Se r<0, então S+Z>0 é impossível.
Portanto
P(D>0) =sumr=1^nP(S=r)cdot1 ;+;P(S=0)cdottfrac12 =sumr=1^nP(S=r)+tfrac12P(S=0)
Como S é simétrica,
sumr=1^nP(S=r) =tfrac12l(1-P(S=0)r)
e daí
P(D>0) =tfrac12l(1-P(S=0)r)+tfrac12P(S=0) =tfrac12

Resposta

tfrac12

Exercícios relacionados