Questão 2\left[2.5\right. pontos] Seja A=\left[\begin{array}{cc}6 & -5 \\\\ 4 & -3\end{array}\right]. Encontre uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que A=P D P^{-1}. Aplicando esta igualdade, encontre uma fórmula fechada para A^{k} para k inteiro. Indique claramente os seus raciocínios.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}6 & -5 \\[4pt] 4 & -3\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • Encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que \;A=PDP^{-1}\;.
  • Usando essa igualdade, obter uma fórmula fechada para A^{k} para k inteiro.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é 2\times2.
  • Precisa-se diagonalizá-la (achar autovalores e autovetores) e depois usar a diagonalização para elevar A a qualquer potência inteira.]

Passo 2

Encontrar os autovalores (raízes do polinômio característico). O polinômio característico é dado por \det(A-\lambda I)=0. Calculamos
\det\!\begin{pmatrix}6-\lambda & -5 \\[4pt] 4 & -3-\lambda\end{pmatrix} =(6-\lambda)(-3-\lambda)-(-5)\cdot4.
Expandindo:
(6-\lambda)(-3-\lambda)+20 =\lambda^2-3\lambda-18+20 =\lambda^2-3\lambda+2.
Resolvendo \lambda^2-3\lambda+2=0 obtemos
\lambda^2-3\lambda+2=(\lambda-1)(\lambda-2)=0,
portanto os autovalores são \lambda_1=1 e \lambda_2=2.
Comentário didático rápido: o polinômio característico de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} é \lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc). Aqui a+d=6+(-3)=3 e ad-bc=6(-3)-(-5)4= -18+20=2, o que confirma o polinômio acima.]

Passo 3

Encontrar autovetores associados a cada autovalor, resolvendo (A-\lambda I)v=0.
Para \lambda_1=1:
A-I=\begin{pmatrix}6-1 & -5 \\[4pt] 4 & -3-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5 & -5 \\[4pt] 4 & -4\end{pmatrix}.
Solução de 5x-5y=0 é x=y. Logo um autovetor conveniente é
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=2:
A-2I=\begin{pmatrix}6-2 & -5 \\[4pt] 4 & -3-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & -5 \\[4pt] 4 & -5\end{pmatrix}.
Equação 4x-5y=0 x=\tfrac{5}{4}y. Escolhendo y=4 obtemos o autovetor
v_2=\begin{pmatrix}5\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Didática: escolhemos autovetores simples (pequenos inteiros) que satisfazem as relações; qualquer múltiplo não-nulo funciona.]

Passo 4

Formamos P com colunas sendo autovetores correspondentes e D com os autovalores na diagonal na mesma ordem. Tomando a ordem \lambda_1=1,\\ \lambda_2=2,
P=\begin{pmatrix}1 & 5 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Assim P é invertível se os autovetores forem linearmente independentes (aqui são).]

Passo 5

Calcular P^{-1} explicitamente (fórmula para inversa de 2\times2). Para P=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} tem-se P^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{pmatrix}.
Aqui a=1,b=5,c=1,d=4 e \det P=1\cdot4-5\cdot1=-1. Logo
P^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}4 & -5 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4 & 5 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (reconfortante na prova): calcular PDP^{-1} para checar que volta a A.
PD=\begin{pmatrix}1 & 5 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 10 \\[4pt] 1 & 8\end{pmatrix},
e
PDP^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 10 \\[4pt] 1 & 8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-4 & 5 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6 & -5 \\[4pt] 4 & -3\end{pmatrix}=A.
Isso confirma a diagonalização.]

Passo 7

Explicar por que isso dá A^{k}. Se A=PDP^{-1}, então por associatividade e propriedades de potências de matrizes:
A^{k}=(PDP^{-1})^{k}=PD^{k}P^{-1},
porque os fatores P^{-1}P internos se cancelam em multiplicações sucessivas. Isso vale para todo inteiro k\ge 0. Como \det A=\det P\det D\det P^{-1}=\det D=1\cdot2=2\neq0, a matriz A é invertível, então A^{k} também está bem definida para k inteiro negativo e a fórmula A^{k}=P D^{k} P^{-1} continua válida (usando D^{k}=\operatorname{diag}(1^{k},2^{k}) incluindo k<0).
Didática: diagonalizar torna a operação de elevar à potência muito fácil porque elevar uma matriz diagonal é só elevar as entradas da diagonal.

Passo 8

Calcular explicitamente A^{k}=P D^{k} P^{-1}. Como
D^{k}=\begin{pmatrix}1^{k} & 0 \\[4pt] 0 & 2^{k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2^{k}\end{pmatrix},
temos
PD^{k}=\begin{pmatrix}1 & 5 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2^{k}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 5\cdot2^{k} \\[4pt] 1 & 4\cdot2^{k}\end{pmatrix}.
Multiplicando por P^{-1}=\begin{pmatrix}-4&5\\[4pt]1&-1\end{pmatrix} obtemos
A^{k}=PD^{k}P^{-1} =\begin{pmatrix}1 & 5\cdot2^{k} \\[4pt] 1 & 4\cdot2^{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-4 & 5 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Agora multiplicamos as matrizes (cada entrada é soma de produtos; mostro cada produto):
  • Entrada (1,1): 1\cdot(-4)+(5\cdot2^{k})\cdot 1=-4+5\cdot2^{k}.
  • Entrada (1,2): 1\cdot5+(5\cdot2^{k})\cdot(-1)=5-5\cdot2^{k}=5(1-2^{k}).
  • Entrada (2,1): 1\cdot(-4)+(4\cdot2^{k})\cdot 1=-4+4\cdot2^{k}.
  • Entrada (2,2): 1\cdot5+(4\cdot2^{k})\cdot(-1)=5-4\cdot2^{k}.
Portanto a fórmula fechada é
A^{k}=\begin{pmatrix} -4+5\cdot 2^{k} & 5-5\cdot 2^{k} \\[6pt] -4+4\cdot 2^{k} & 5-4\cdot 2^{k} \end{pmatrix}.
Verificações rápidas: para k=1 recupera A (coloque 2^{1}=2 e calcule) e para k=0 dá a identidade (coloque 2^{0}=1 e confira). Para k negativo usa-se 2^{k} fracionário, a fórmula continua válida porque A é invertível.]

Resposta

D=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}
P=\begin{pmatrix}1 & 5 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}
A^{k}=\begin{pmatrix}-4+5\cdot 2^{k} & 5-5\cdot 2^{k} \\[6pt] -4+4\cdot 2^{k} & 5-4\cdot 2^{k}\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados