Questão 2\left[2.5\right. pontos] Seja A=\left[\begin{array}{cc}6 & -5 \\\\ 4 & -3\end{array}\right]. Encontre uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que A=P D P^{-1}. Aplicando esta igualdade, encontre uma fórmula fechada para A^{k} para k inteiro. Indique claramente os seus raciocínios.
portanto os autovalores são \lambda_1=1 e \lambda_2=2.
Comentário didático rápido: o polinômio característico de uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} é \lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc). Aqui a+d=6+(-3)=3 e ad-bc=6(-3)-(-5)4= -18+20=2, o que confirma o polinômio acima.]
Passo 3
Encontrar autovetores associados a cada autovalor, resolvendo (A-\lambda I)v=0.
Equação 4x-5y=0 dá x=\tfrac{5}{4}y. Escolhendo y=4 obtemos o autovetor
v_2=\begin{pmatrix}5\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Didática: escolhemos autovetores simples (pequenos inteiros) que satisfazem as relações; qualquer múltiplo não-nulo funciona.]
Passo 4
Formamos P com colunas sendo autovetores correspondentes e D com os autovalores na diagonal na mesma ordem. Tomando a ordem \lambda_1=1,\\ \lambda_2=2,
Assim P é invertível se os autovetores forem linearmente independentes (aqui são).]
Passo 5
Calcular P^{-1} explicitamente (fórmula para inversa de 2\times2). Para P=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} tem-se P^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{pmatrix}.
Aqui a=1,b=5,c=1,d=4 e \det P=1\cdot4-5\cdot1=-1. Logo
Explicar por que isso dá A^{k}. Se A=PDP^{-1}, então por associatividade e propriedades de potências de matrizes:
A^{k}=(PDP^{-1})^{k}=PD^{k}P^{-1},
porque os fatores P^{-1}P internos se cancelam em multiplicações sucessivas. Isso vale para todo inteiro k\ge 0. Como \det A=\det P\det D\det P^{-1}=\det D=1\cdot2=2\neq0, a matriz A é invertível, então A^{k} também está bem definida para k inteiro negativo e a fórmula A^{k}=P D^{k} P^{-1} continua válida (usando D^{k}=\operatorname{diag}(1^{k},2^{k}) incluindo k<0).
Didática: diagonalizar torna a operação de elevar à potência muito fácil porque elevar uma matriz diagonal é só elevar as entradas da diagonal.
Passo 8
Calcular explicitamente A^{k}=P D^{k} P^{-1}. Como
Verificações rápidas: para k=1 recupera A (coloque 2^{1}=2 e calcule) e para k=0 dá a identidade (coloque 2^{0}=1 e confira). Para k negativo usa-se 2^{k} fracionário, a fórmula continua válida porque A é invertível.]