Questão 1. (2.0) pontos. Considere o espaço vetorial P_{2}(R). No espaço P_{2}(R) considere o elemento f(t)=-t^{2}+3. Utilize o produto interno \langle f(t), g(t)\rangle=\int_{0}^{1} f(t) g(t) d t e calcule \|f(t)\|.

Passo 1

O enunciado está em P_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1}f(t)\,g(t)\,dt
e pede a norm
\|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}
para f(t)=-t^{2}+3. Vamos calcular \langle f,f\rangle=\int_{0}^{1}(-t^{2}+3)^{2}dt.

Passo 2

Expandimos o quadrado:
(-t^{2}+3)^{2}=t^{4}-6t^{2}+9.

Passo 3

Fazemos a integral
I=\int_{0}^{1}(t^{4}-6t^{2}+9)\,dt
integrando termo a termo.

Passo 4

Calculamos cada parte:
\int_{0}^{1}t^{4}\,dt=\frac{1}{5},\quad \int_{0}^{1}(-6t^{2})\,dt=-6\cdot\frac{1}{3}=-2,\quad \int_{0}^{1}9\,dt=9.
Somando:
I=\frac{1}{5}-2+9=\frac{1}{5}+7=\frac{36}{5}.

Passo 5

Finalmente,
\|f\|=\sqrt{I}=\sqrt{\frac{36}{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}.

Resposta

\displaystyle \|f\|=\frac{6}{\sqrt{5}}.

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