Questão 1 [4,0 ponto] Considere a função
f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2} y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{aligned}\right.
  1. f é contínua em (0,0) ? Justifique.
  2. Calcule as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).
  3. Determine \frac{\partial f}{\partial x}(x, y), \left.\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) . \quad \right\rvert\,.
  4. f é diferenciável no ponto (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y^3}{x^2+y^2},& (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede (1) verificar continuidade em (0,0), (2) calcular \partial_xf(0,0) e \partial_yf(0,0), (3) encontrar \partial_xf(x,y) e \partial_yf(x,y) para (x,y)\neq(0,0) e (4) decidir se f é diferenciável em (0,0).
Conteúdo: limites em duas variáveis, definição de continuidade, derivadas parciais via limite e regra do quociente, e critério de diferenciabilidade pelo resto ser o(\sqrt{x^2+y^2}).]

Passo 2

Para ver continuidade em (0,0) calculamos
\bigl|f(x,y)\bigr| =\frac{|x|^2\,|y|^3}{x^2+y^2}.
Em coordenadas polares x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta,
|f(x,y)|=\frac{r^2\cos^2\theta\;r^3\sin^3\theta}{r^2} =r^3|\cos^2\theta\,\sin^3\theta|\le r^3.
Como r\to0 implica r^3\to0, o limite de f(x,y) é 0=f(0,0). Logo f é contínua em (0,0).

Passo 3

Usamos definição de derivada parcial em (0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0,
pois y=0 faz f(h,0)=0. De modo análogo
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k}=0.

Passo 4

Para (x,y)\neq(0,0) temos u=x^2y^3 e v=x^2+y^2. Pela regra do quociente,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{u_x\,v-u\,v_x}{v^2} =\frac{(2x y^3)(x^2+y^2)-x^2y^3(2x)}{(x^2+y^2)^2} =\frac{2x y^5}{(x^2+y^2)^2},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{u_y\,v-u\,v_y}{v^2} =\frac{(3x^2y^2)(x^2+y^2)-x^2y^3(2y)}{(x^2+y^2)^2} =\frac{x^2y^2(3x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 5

Para diferenciabilidade em (0,0) precisamos
f(h,k)-0-\partial_xf(0,0)\,h-\partial_yf(0,0)\,k =f(h,k)=\frac{h^2k^3}{h^2+k^2}
ser o(\sqrt{h^2+k^2}). Em polares f=r^3\cos^2\theta\sin^3\theta, então
\frac{|f|}{r} \le\frac{r^3}{r}=r^2\to0.
Logo o resto é o(r) e f é diferenciável em (0,0).

Resposta

  1. Sim, f é contínua em (0,0).
  2. \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
  3. \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{2x\,y^5}{(x^2+y^2)^2},\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{x^2y^2(3x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}.
  4. Sim, f é diferenciável em (0,0).

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