Questão II (0,30) - Cap. 16
Muitos edifícios possuem amortecedores de massa para evitar oscilações excessivas causadas pelo vento.
Suponha que o amortecedor seja um bloco de massa m=3,5 \times 10 \times \mathrm{kg}, projetado para oscilar com frequência f=15,0 \mathrm{~Hz} e amplitude \mathrm{Xm}=25,0 \mathrm{~cm}.
a) Qual é a energia mecânica total E do sistema massa-mola?
b) Qual é a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado trata de um bloco de massa \!m=3{,}5\times10^3\\ \mathrm{kg} preso a uma mola, oscilando em MHS com frequência f=15{,}0\\ \mathrm{Hz} e amplitude X_m=25{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}25\\ \mathrm{m}. Precisamos calcular a energia mecânica total E do sistema massa-mola e a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de equilíbrio. Para isso vamos usar as fórmulas de oscilador harmônico simples:
– a pulsação \omega=2\pi f,
– energia mecânica constante dada por \tfrac12\,m\,\omega^2\,X_m^2,
– velocidade máxima v_{\max}=\omega\,X_m, que ocorre em x=0.

Passo 2

Calcular a pulsação \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 15{,}0\\ \mathrm{Hz} = 30\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx94{,}25\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Determinar a energia mecânica total E. Em MHS
E = \tfrac12\,m\,\omega^2\,X_m^2.
Substituindo m=3{,}5\times10^3\\ \mathrm{kg}, \omega\approx94{,}25\\ \mathrm{rad/s} e X_m=0{,}25\\ \mathrm{m}:
E = \tfrac12 \times 3{,}5\times10^3 \times (94{,}25)^2 \times (0{,}25)^2 \approx9{,}72\times10^5\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a velocidade ao passar por x=0. Nesse ponto toda energia é cinética e
v_{\max} = \omega\,X_m = 94{,}25\\ \mathrm{rad/s}\times0{,}25\\ \mathrm{m} \approx23{,}56\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A energia mecânica total do sistema é aproximadamente
E\approx9{,}72\times10^5\\ \mathrm{J},
e a velocidade ao passar pelo ponto de equilíbrio é
v\approx23{,}6\\ \mathrm{m/s}.

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