Questão I (0,40) - Cap. 15
Um objeto maciço de massa m=24,0 \mathrm{~kg} oscila em movimento harmônico simples.
Sua posição em função do tempo é dada por:
x(t)=6 \cdot \operatorname{sen}[(\pi) t+3]
a) Qual é a posição, a velocidade e a aceleração do objeto em t=0 s ?
b) Qual é a energia cinética do objeto em função do tempo?
c) Em que instante após t=0 a energia cinética atinge o primeiro máximo?

Passo 1

O enunciado dá um movimento harmônico simples (MHS) de massa m=24,0 kg com posição
x(t)=6\operatorname{sen}\bigl(\pi t+3\bigr).
Pede em (a) a posição, velocidade e aceleração em t=0; em (b) a energia cinética K(t); e em (c) o instante após t=0 em que K atinge seu primeiro máximo. Vamos usar derivadas para obter v(t) e a(t), a definição K=\tfrac12 m v^2 e a condição de máximo em função de \cos^2.

Passo 2

Derivando e avaliando em t=0:
A velocidade é
v(t)=\frac{dx}{dt} =6\cdot\pi\cos\bigl(\pi t+3\bigr),
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v(0)=6\pi\cos(3).
A aceleração é
a(t)=\frac{d^2x}{dt^2} =-6\pi^2\operatorname{sen}\bigl(\pi t+3\bigr),
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a(0)=-6\pi^2\operatorname{sen}(3).
E a posição em t=0 é
x(0)=6\operatorname{sen}(3).
Numericamente: \operatorname{sen}(3)\approx0,14112, \cos(3)\approx-0,98999, então
x(0)\approx6\cdot0,14112=0,847\text{ m}, \quad v(0)\approx6\pi\cdot(-0,98999)\approx-18,66\text{ m/s}, \quad a(0)\approx-6\pi^2\cdot0,14112\approx-8,36\text{ m/s}^2.

Passo 3

A energia cinética é
K(t)=\frac12\,m\,v(t)^2 =\frac12\cdot24\bigl(6\pi\cos(\pi t+3)\bigr)^2 =432\pi^2\cos^2\bigl(\pi t+3\bigr)\text{ J}.

Passo 4

Para maximizar K(t) basta ter \cos^2(\pi t+3)=1, i.e.
\pi t+3=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
O menor t>0 ocorre para k=1:
t=\frac{\pi-3}{\pi}=1-\frac{3}{\pi}\approx0,0451\text{ s}.

Resposta

(a) x(0)=6\operatorname{sen}(3)\approx0,847 m, v(0)=6\pi\cos(3)\approx-18,66 m/s, a(0)=-6\pi^2\operatorname{sen}(3)\approx-8,36 m/s ^2.
(b) K(t)=432\pi^2\cos^2\bigl(\pi t+3\bigr) J.
(c) t=\displaystyle1-\frac{3}{\pi}\approx0,0451 s.

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