Questão VI (0,40) - Cap. 14
Um cano com diâmetro interno de 2,9 \mathrm{~cm} transporta água para o porão de uma casa a velocidade de 0,80 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e pressão de 180 kPa .
Se o cano se estreita para 1,1 \mathrm{~cm} e sobe para o segundo piso, 8,0 \mathrm{~m} acima do ponto de entrada:
Determine a pressão da água no segundo piso.

Passo 1

O enunciado descreve uma água escoando num cano de diâmetro interno inicial d_1=2{,}9\text{ cm} com velocidade v_1=0{,}80\text{ m/s} e pressão p_1=180\text{ kPa}. O cano afunila para d_2=1{,}1\text{ cm} e sobe 8{,}0\text{ m} até o segundo piso. Queremos p_2. O conteúdo é equação da continuidade e teorema de Bernoulli para fluidos incompressíveis.

Passo 2

Pela continuidade,
A_1\,v_1=A_2\,v_2,
onde
A_1=\pi\Bigl(\frac{d_1}{2}\Bigr)^2 =\pi\bigl(0{,}0145\bigr)^2\approx6{,}61\times10^{-4}\,\mathrm{m^2},
A_2=\pi\Bigl(\frac{d_2}{2}\Bigr)^2 =\pi\bigl(0{,}0055\bigr)^2\approx9{,}51\times10^{-5}\,\mathrm{m^2}.
Logo,
v_2 = v_1\frac{A_1}{A_2} =0{,}80\frac{6{,}61\times10^{-4}}{9{,}51\times10^{-5}} \approx5{,}56\text{ m/s}.

Passo 3

Aplicamos Bernoulli entre o ponto 1 z_1=0 e o ponto 2 z_2=8{,}0\text{ m}:
\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1 =\frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2.
Reorganizando para p_2:
p_2 = p_1 + \tfrac12\,\rho\bigl(v_1^2 - v_2^2\bigr) + \rho g\bigl(z_1 - z_2\bigr).

Passo 4

Tomando \rho=1000\text{ kg/m}^3 e g=9{,}8\text{ m/s}^2:
\tfrac12\,\rho\bigl(v_1^2 - v_2^2\bigr) =500\bigl(0{,}8^2 - 5{,}56^2\bigr) \approx-1,5145\times10^4\text{ Pa},
\rho g(z_1 - z_2) =1000\cdot9{,}8\cdot(0 - 8{,}0) \approx-7,84\times10^4\text{ Pa}.
Então
p_2 = 1,80\times10^5 - 1,5145\times10^4 - 7,84\times10^4 \approx8,6455\times10^4\text{ Pa}.

Resposta

A pressão da água no segundo piso é aproximadamente
p_2 \approx 8{,}65\times10^4\text{ Pa} \quad\text{ou}\quad 86{,}5\text{ kPa}.

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