Questão 30 -

Considere duas fontes luminosas pontuais localizadas em ( 0,-\mathrm{a} / 2 ) e ( 0, \mathrm{a} / 2 ), sendo \lambda o comprimento de onda e \mathrm{a}=\sqrt{2} \lambda. Em coordenadas cartesianas, o lugar geométrico de todos os pontos onde ocorrem interferências construtivas de primeira ordem é
a) y^{2}-x^{2}=\frac{\lambda^{2}}{4}
b) y^{2}-\frac{x^{2}}{2}=\lambda^{2}
c) y^{2}-2 x^{2}=\lambda^{2}
d) y^{2}-x^{2}=\frac{\lambda^{2}}{2}
e) y^{2}-\frac{x^{2}}{3}=\frac{\lambda^{2}}{2}

Passo 1

O enunciado coloca duas fontes pontuais em (0,-a/2) e (0,a/2), com a=\sqrt{2}\,\lambda, e pergunta o lugar geométrico dos pontos onde o caminho extra de uma fonte em relação à outra vale \lambda (interferência construtiva de primeira ordem). Vamos usar a definição de hipérbole: o lugar geométrico dos pontos que têm diferença constante entre distâncias a dois focos.

Passo 2

Seja S_1=(0,-a/2) e S_2=(0,a/2). Para um ponto genérico (x,y) definimos
r_1 = \sqrt{x^2 + \bigl(y + \tfrac{a}{2}\bigr)^2}, \quad r_2 = \sqrt{x^2 + \bigl(y - \tfrac{a}{2}\bigr)^2}.
A condição de primeira ordem é
r_2 - r_1 = \lambda.

Passo 3

A equação r_2 - r_1 = \lambda caracteriza uma hipérbole com focos em S_1 e S_2. Nela a diferença de distâncias aos focos vale 2a', logo aqui 2a'=\lambda e
a' = \frac{\lambda}{2}.

Passo 4

Os focos estão separados de 2c=a=\sqrt{2}\,\lambda, portanto
c = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{2}\,\lambda}{2} = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}.
Na hipérbole alinhada ao eixo y vale c^2 = a'^2 + b'^2, então
b'^2 = c^2 - a'^2 = \frac{\lambda^2}{2} - \frac{\lambda^2}{4} = \frac{\lambda^2}{4}.

Passo 5

A forma canônica da hipérbole com eixo transverso em y é
\frac{y^2}{a'^{2}} - \frac{x^2}{b'^{2}} = 1.
Substituindo a'^{2}= \lambda^2/4 e b'^{2}= \lambda^2/4
\frac{y^2}{\lambda^2/4} - \frac{x^2}{\lambda^2/4} = 1 \quad\Longrightarrow\quad y^2 - x^2 = \frac{\lambda^2}{4}.

Resposta

a) y^{2}-x^{2}=\tfrac{\lambda^{2}}{4}

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