Questão 32: Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
a) 2, t^2, t, 2 t+3 gera P2.
b) 1, t^2, t^2-2 gera P2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada conjunto de polinômios gera o espaço P2 (polinômios de grau <=2). Sabendo que dim P2=3, um conjunto gera P2 se e somente se seu span contém um sistema gerador de três vetores independentes, por exemplo 1,t,t^2.

Passo 2

Para o item (a), o conjunto é 2,;t^2,;t,;2t+3. Note que
  • 1=tfrac12cdot2,
  • t já está no conjunto,
  • t^2 também.
    Logo, 2,t,t^2 gera 1,t,t^2 e, portanto, gera todo P2. O polinômio 2t+3 é combinação linear de 2 e t, então é redundante mas não prejudica o span.
    Concluímos que o item (a) é verdadeiro.

Passo 3

Para o item (b), o conjunto é 1,;t^2,;t^2-2. Uma combinação genérica é
alphacdot1+betacdot t^2+gammacdot(t^2-2) =(alpha-2gamma)+(beta+gamma)t^2,
que não produz termo em t. Logo, não conseguimos gerar polinômios que tenham coeficiente de t não nulo.
Concluímos que o item (b) é falso.

Resposta

(a) Verdadeiro.
(b) Falso.

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