Uma represa retangular com L=50 \mathrm{~m} de largura suporta uma quantidade de água com H=30 \mathrm{~m} de profundidade.
Calcule o torque exercido pela água e pela pressão atmosférica em relação à base da represa.

Passo 1

O enunciado descreve uma parede vertical de represa de largura L=50,m e altura de água H=30,m. Queremos calcular os torques (momentos) sobre a base desta parede causados
pela pressão hidrostática da água e pela pressão atmosférica. Para isso vamos usar:
• pressão da água em profundidade y: p(y)=\rho g\,y, com \rho=1000,kg/ m^{3} e g=9{,}8,m/ s^{2},
• torque em relação à base: M=\displaystyle\int_0^H y\,\mathrm{d}F(y),
• pressão atmosférica p_{\rm atm}=1{,}01\times10^5,Pa.

Passo 2

Cálculo do torque devido à água.
Num nível infinitesimal de altura \mathrm{d}y a profundidade y (medida desde a superfície livre) a força sobre a faixa é
\mathrm{d}F_{\rm água} = p(y)\,L\,\mathrm{d}y = (\rho g\,y)\,L\,\mathrm{d}y.á
O momento dessa força em relação à base está a distância (H - y) acima da base, mas é mais simples medir y desde a base substuindo y\to H - y. De todo modo, fica equivalente integrar
M_{\rm água} = \int_0^H y\;(\rho g\,y\,L)\,\mathrm{d}y = \rho g\,L\int_0^H y^2\,\mathrm{d}y = \rho g\,L\,\frac{H^3}{3}.á

Passo 3

Substituindo números em
M_{\rm água} = (1000)\,(9{,}8)\,(50)\,\frac{30^3}{3}á
temos
30^3 = 27\,000,\quad \frac{27\,000}{3}=9\,000,
M_{\rm água} =1000 \times 9{,}8 \times 50 \times 9000 =4{,}41\times10^9\\ \text{N\cdotm}.á

Passo 4

Cálculo do torque devido à pressão atmosférica.
A pressão p_{\rm atm} é uniforme sobre toda a altura H, logo a força total é
F_{\rm atm}=p_{\rm atm}\,L\,H
e seu braço de alavanca (braço de momento) em relação à base é o centróide do retângulo, ou seja H/2. Assim
M_{\rm atm} =F_{\rm atm}\,\frac{H}{2} =p_{\rm atm}\,L\,H\;\frac{H}{2} =p_{\rm atm}\,L\,\frac{H^2}{2}.

Passo 5

Substituindo
M_{\rm atm} =(1{,}01\times10^5)\,(50)\,\frac{30^2}{2} =(1{,}01\times10^5)\times50\times\frac{900}{2} =2{,}27\times10^9\\ \text{N\cdotm}.

Resposta

M_{\rm água}á\approx4{,}41\(times10^9)\ N\cdot m
M_{\rm atm}\approx2{,}27\(times10^9)\ N\cdot m

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