Uma represa retangular com L=50 \mathrm{~m} de largura suporta uma quantidade de água com H=30 \mathrm{~m} de profundidade.
Determine a força horizontal total exercida sobre a represa, tanto pela água quanto pela pressão atmosférica.

Passo 1

O enunciado descreve uma parede vertical plana de comprimento L=50\\ \mathrm{m} mergulhada em água até profundidade H=30\\ \mathrm{m}. Queremos a força horizontal total exercida sobre essa parede, contando tanto a contribuição da pressão hidrostática da água quanto a da pressão atmosférica que atua na face da parede. Para isso vamos usar:
• Pressão hidrostática em profundidade y: \bigl.p_{\rm h}(y)=\rho\,g\,y,;
• Pressão absoluta na água: \bigl.p(y)=p_{\rm h}(y)+p_{\rm atm},;
• Força elementar numa faixa horizontal de altura \mathrm{d}y: \mathrm{d}F = p(y)\,L\,\mathrm{d}y.

Passo 2

Calcular a força devida apenas à pressão hidrostática da água (acima de p_{\rm atm}).
A pressão hidrostática varia linearmente com y, de 0 em y=0 (superfície) até \rho gH em y=H.
F_{\rm água} = \int_{0}^{H} \bigl(\rho\,g\,y\bigr)\,L\,\mathrm{d}y = \rho\,g\,L \int_{0}^{H} y\,\mathrm{d}y = \rho\,g\,L \,\frac{H^2}{2}.á

Passo 3

Calcular a força devida à pressão atmosférica atuando na mesma área A = L\times H.
F_{\rm atm} = p_{\rm atm}\;A = p_{\rm atm}\;L\,H.

Passo 4

Somar as duas contribuições para obter a força total
F_{\rm total} = F_{\rm água} + F_{\rm atm} = \rho\,g\,L\,\frac{H^2}{2} \;+\; p_{\rm atm}\,L\,H.á

Passo 5

Substituindo os valores numéricos \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}, L=50\\ \mathrm{m}, H=30\\ \mathrm{m}, p_{\rm atm}=1,01325\times10^5\\ \mathrm{Pa}:
F_{\rm água} =1000\cdot9,81\cdot50\cdot\frac{30^2}{2} \approx2{,}20725\times10^8\\ \mathrm{N},á
F_{\rm atm} =1,01325\times10^5\cdot50\cdot30 \approx1{,}519875\times10^8\\ \mathrm{N},
F_{\rm total} \approx2{,}20725\times10^8 + 1{,}519875\times10^8 =3{,}727125\times10^8\\ \mathrm{N}.

Resposta

A força horizontal total sobre a represa é
F_{\rm total} \approx3{,}73\times10^8\\ \mathrm{N}.

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