Questão 30. Uma empresa produz um equipamento cuja vida útil admite distribuição normal com média 300 h e desvio padrão 20 h . Se a empresa garantiu uma vida útil de pelo menos 280 h para uma das unidades vendidas, qual a probabilidade de ela ter que repor essa unidade?

Passo 1

O enunciado dá que a vida útil de um equipamento segue uma distribuição normal com média 300 horas e desvio padrão 20 horas. A empresa garante vida útil de pelo menos 280 horas para uma unidade vendida. A pergunta é: qual a probabilidade de a empresa ter que repor essa unidade? \n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\mu = 300,\quad \sigma = 20,\quad \text{garantia} = 280.
A reposição ocorrerá quando a vida útil X for menor que 280. Ou seja, queremos calcular P(X<280).

Passo 2

Modelagem e conceito importante: vamos modelar a vida útil por uma variável aleatória X com distribuição normal. Escrevemos isso como
X \sim N(\mu,\sigma^{2}) = N(300,20^{2}).
O que isso significa (explicação didática): a distribuição normal é aquela “curva em forma de sino”. O parâmetro \mu é o centro da curva (a média); \sigma mede a dispersão (quanto os valores típicos se afastam da média). Para usar tabelas ou calculadora, padronizamos para a distribuição normal padrão Z, que tem média 0 e desvio 1.
A fórmula de padronização é
Z = \frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z segue N(0,1). Aqui, X é a vida útil que queremos transformar, \mu é a média e \sigma é o desvio padrão.

Passo 3

Aplicamos a padronização ao ponto 280. Calculamos o escore‑ z:
z = \frac{280-300}{20} = \frac{-20}{20} = -1.
Portanto
P(X<280) = P\!\left(Z < -1\right).

Passo 4

Como encontrar P(Z<-1): usamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora). Há uma propriedade útil de simetria da normal padrão:
\Phi(-z) = 1 - \Phi(z),
onde \Phi(t)=P(Z\le t) é a função distribuição acumulada da normal padrão. Aplicando com z=1,
P(Z<-1)=\Phi(-1)=1-\Phi(1).

Passo 5

Valor na tabela/ calculadora: \Phi(1)=0,8413 (valor padrão da tabela da normal). Logo
P(Z<-1)=1-0,8413=0,1587.
Interpretação: a probabilidade de a unidade falhar antes de 280 horas é 0,1587, ou seja, cerca de 15{,}87\%.

Passo 6

Resumo prático para a prova (como fazer rápido): identificar X\sim N(300,20^{2}), escrever o evento X<280, padronizar com z=(280-300)/20=-1, procurar \Phi(1)=0,8413 e usar \Phi(-1)=1-\Phi(1)=0,1587. Anote sempre se a tabela dá P(Z\le z) (a maioria dá) e use a simetria para valores negativos.

Resposta

0,1587

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