Questão 32. Através de documentação e observação cuidadosas, constatou-se que o tempo para fazer um teste padrão de matemática é aproximadamente uma normal com \mu=80 min e \sigma=20 min. Que percentagem de candidatos:
a) Levará menos de 80 min para concluir o teste?
b) Nao terminará o teste se o tempo máximo concedido é de 2 horas?
c) Se 100 pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar que o terminem na primeira hora?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo para fazer o teste segue uma distribuição normal com média \mu=80 minutos e desvio padrão \sigma=20 minutos. As perguntas são:
a) Que percentagem de candidatos levará menos de \,80 minutos para concluir o teste?
b) Que percentagem não terminará o teste se o tempo máximo for \,2 horas (ou seja, \,120 minutos)?
c) Se 100 pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar que o terminem na primeira hora (ou seja, até \,60 minutos)?

Passo 2

Vou explicar a ideia principal que usamos aqui (passo-a-passo, como você pediu). Quando uma variável aleatória X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2). Para calcular probabilidades usamos a padronização para a normal padrão Z, definida por:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Neste fórmula:
  • X é o tempo que alguém leva (minutos),
  • \mu é a média ( 80 min),
  • \sigma é o desvio padrão ( 20 min),
  • Z tem distribuição normal padrão N(0,1), ou seja, média 0 e desvio padrão 1.
Depois de calcular z para um valor de X, consultamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora) para obter \Phi(z)=P(Z\le z). Lembre-se das simetrias úteis: \Phi(-z)=1-\Phi(z).

Passo 3

Parte (a): queremos P(X<80). Primeiro padronizo:
z=\frac{80-\mu}{\sigma}=\frac{80-80}{20}=0.
Para a normal padrão P(Z<0)=\Phi(0)=0,5 (metade da área está à esquerda da média). Portanto a percentagem é 50\%. Explicação curta: quando pedem “menos que a média” numa normal, a resposta sempre é 50\%, porque a curva é simétrica.

Passo 4

Parte (b): “Não terminará se o tempo máximo é de 2 horas” significa procurar P(X>120). Padronizo:
z=\frac{120-\mu}{\sigma}=\frac{120-80}{20}=2.
Então
P(X>120)=P\!\left(Z>2\right)=1-\Phi(2).
Da tabela da normal padrão temos \Phi(2)\approx 0,97725. Assim
P(X>120)=1-0,97725=0,02275.
Convertendo para percentagem obtemos aproximadamente 2,275\%, que arredondando a duas casas decimais fica 2,28\%. Ou seja, cerca de 2,28\% dos candidatos não terminarão no tempo de 120 minutos.

Passo 5

Parte (c): queremos quantas das 100 pessoas terminarão na primeira hora, isto é P(X\le 60) multiplicado por 100. Primeiro padronizo:
z=\frac{60-\mu}{\sigma}=\frac{60-80}{20}=-1.
Então
P(X\le 60)=P(Z\le -1)=\Phi(-1).
Usando simetria \Phi(-1)=1-\Phi(1) e da tabela \Phi(1)\approx 0,84134, logo
\Phi(-1)=1-0,84134=0,15866.
Isto é aproximadamente 15,866\%. Para 100 pessoas, o número esperado que terminam na primeira hora é
100\times 0,15866\approx 15,866.
Portanto esperamos cerca de 15,87 pessoas, o que na prática significa aproximadamente 16 pessoas.

Passo 6

Resumo prático para a prova (dicas rápidas): calcular z com \;z=(X-\mu)/\sigma\;, olhar \Phi(z) na tabela; usar simetria para z negativo; multiplicar por n para converter probabilidade em contagem esperada. Você consegue — um passo de cada vez.

Resposta

a) 50\%
b) 2,28\%
c) 15,87 pessoas (aprox. 16 pessoas)

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