Questão 32. Através de documentação e observação cuidadosas, constatou-se que o tempo para fazer um teste padrão de matemática é aproximadamente uma normal com
min e
min. Que percentagem de candidatos:
a) Levará menos de 80 min para concluir o teste?
b) Nao terminará o teste se o tempo máximo concedido é de 2 horas?
c) Se 100 pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar que o terminem na primeira hora?
a) Levará menos de 80 min para concluir o teste?
b) Nao terminará o teste se o tempo máximo concedido é de 2 horas?
c) Se 100 pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar que o terminem na primeira hora?
Passo 1
O enunciado diz que o tempo para fazer o teste segue uma distribuição normal com média
minutos e desvio padrão
minutos. As perguntas são:
a) Que percentagem de candidatos levará menos de minutos para concluir o teste?
b) Que percentagem não terminará o teste se o tempo máximo for horas (ou seja,
minutos)?
c) Se pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar que o terminem na primeira hora (ou seja, até
minutos)?
a) Que percentagem de candidatos levará menos de
b) Que percentagem não terminará o teste se o tempo máximo for
c) Se
Passo 2
Vou explicar a ideia principal que usamos aqui (passo-a-passo, como você pediu). Quando uma variável aleatória
é normal com média
e desvio padrão
, escrevemos
. Para calcular probabilidades usamos a padronização para a normal padrão
, definida por:
Neste fórmula:
-
é o tempo que alguém leva (minutos), -
é a média ( min), -
é o desvio padrão ( min), -
tem distribuição normal padrão , ou seja, média e desvio padrão .
Depois de calcular
para um valor de
, consultamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora) para obter
. Lembre-se das simetrias úteis:
.
Passo 3
Parte (a): queremos
. Primeiro padronizo:
Para a normal padrão
(metade da área está à esquerda da média). Portanto a percentagem é
. Explicação curta: quando pedem “menos que a média” numa normal, a resposta sempre é
, porque a curva é simétrica.
Passo 4
Parte (b): “Não terminará se o tempo máximo é de
horas” significa procurar
. Padronizo:
Então
Da tabela da normal padrão temos
. Assim
Convertendo para percentagem obtemos aproximadamente
, que arredondando a duas casas decimais fica
. Ou seja, cerca de
dos candidatos não terminarão no tempo de
minutos.
Passo 5
Parte (c): queremos quantas das
pessoas terminarão na primeira hora, isto é
multiplicado por
. Primeiro padronizo:
Então
Usando simetria
e da tabela
, logo
Isto é aproximadamente
. Para
pessoas, o número esperado que terminam na primeira hora é
Portanto esperamos cerca de
pessoas, o que na prática significa aproximadamente
pessoas.
Passo 6
Resumo prático para a prova (dicas rápidas): calcular
com
, olhar
na tabela; usar simetria para
negativo; multiplicar por
para converter probabilidade em contagem esperada. Você consegue — um passo de cada vez.
Resposta
a)
b)
c) pessoas (aprox.
pessoas)
b)
c)