Uma máquina de ensacar determinado produto apresenta variações de peso (distribuído normalmente) com desvio padrão de 3 kg .
Em quanto deve ser regulado o peso médio do saco para que apenas
tenham menos de 60 kg ?
Em quanto deve ser regulado o peso médio do saco para que apenas
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma quantidade específica:
- A variação do peso dos sacos segue uma distribuição normal com desvio padrão
. - Queremos que somente
dos sacos tenham peso menor que . - A incógnita é o valor do peso médio
ao qual a máquina deve ser regulada para satisfazer essa condição.
Passo 2
Entendendo a ideia principal (sem falar de métodos ainda): queremos escolher
tal que a probabilidade de a variável aleatória
(peso do saco) ser menor que
seja
. Em notação isso é:
Onde
tem distribuição normal com média
e variância
, ou seja
com
.
Passo 3
Conceito importante que vamos usar: padronização da normal. Quando
, podemos transformar
numa variável normal padrão
(média
e desvio
) usando
Isto serve para traduzir qualquer probabilidade sobre
em uma probabilidade sobre
, cujo comportamento (tabela ou função de distribuição) a gente conhece bem. Aplicando isso ao nosso caso:
Queremos que essa probabilidade seja
, logo precisamos de um valor
tal que
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Esse valor
é o quantil de ordem
da normal padrão, normalmente denotado por
.
Passo 4
Valor do quantil: olhando em uma tabela
(ou usando uma calculadora estatística), o número
que satisfaz
é aproximadamente
Observação interpretativa: o quantil é negativo porque
é menor que
(a mediana da normal), então o ponto está à esquerda da média zero da normal padrão.
Passo 5
Agora igualamos o quantil à expressão padronizada e resolvemos para
:
Multiplicando os dois lados por
:
Isolando
:
Passo 6
Interpretação final e arredondamento: para que apenas
dos sacos pesem menos que
, devemos regular a média para aproximadamente
. Arredondei para duas casas decimais por ser uma precisão prática para ajuste de máquina.