Uma máquina de ensacar determinado produto apresenta variações de peso (distribuído normalmente) com desvio padrão de 3 kg .
Em quanto deve ser regulado o peso médio do saco para que apenas 10 \% tenham menos de 60 kg ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma quantidade específica:
  • A variação do peso dos sacos segue uma distribuição normal com desvio padrão \sigma = 3\\ \text{kg}.
  • Queremos que somente 10\% dos sacos tenham peso menor que 60\\ \text{kg}.
  • A incógnita é o valor do peso médio \mu ao qual a máquina deve ser regulada para satisfazer essa condição.

Passo 2

Entendendo a ideia principal (sem falar de métodos ainda): queremos escolher \mu tal que a probabilidade de a variável aleatória X (peso do saco) ser menor que 60 seja 0,10. Em notação isso é:
P(X<60)=0,10
Onde X tem distribuição normal com média \mu e variância \sigma^2, ou seja \,X\sim N(\mu,\sigma^2) com \sigma=3.

Passo 3

Conceito importante que vamos usar: padronização da normal. Quando X\sim N(\mu,\sigma^2), podemos transformar X numa variável normal padrão Z (média 0 e desvio 1) usando
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Isto serve para traduzir qualquer probabilidade sobre X em uma probabilidade sobre Z, cujo comportamento (tabela ou função de distribuição) a gente conhece bem. Aplicando isso ao nosso caso:
P(X<60)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{60-\mu}{\sigma}\right)=P\!\left(Z<\frac{60-\mu}{3}\right).
Queremos que essa probabilidade seja 0,10, logo precisamos de um valor z tal que
\Phi(z)=0,10,
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Esse valor z é o quantil de ordem 0,10 da normal padrão, normalmente denotado por z_{0,10}.

Passo 4

Valor do quantil: olhando em uma tabela Z (ou usando uma calculadora estatística), o número z que satisfaz \Phi(z)=0,10 é aproximadamente
z_{0,10}\approx -1,2816.
Observação interpretativa: o quantil é negativo porque 0,10 é menor que 0,50 (a mediana da normal), então o ponto está à esquerda da média zero da normal padrão.

Passo 5

Agora igualamos o quantil à expressão padronizada e resolvemos para \mu:
\frac{60-\mu}{3}=z_{0,10}\approx -1,2816.
Multiplicando os dois lados por 3:
60-\mu \approx 3\cdot(-1,2816) = -3,8448.
Isolando \mu:
\mu \approx 60 - (-3,8448) = 60 + 3,8448 = 63,8448.

Passo 6

Interpretação final e arredondamento: para que apenas 10\% dos sacos pesem menos que 60\\ \text{kg}, devemos regular a média para aproximadamente \mu\approx 63,84\\ \text{kg}. Arredondei para duas casas decimais por ser uma precisão prática para ajuste de máquina.

Resposta

\mu \approx 63,84\\ \text{kg}

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