—— Questão 30. i) Escreva a função
como uma série de potência da forma
sugestão: Use que
e a identidade
.
ii) Mostre que
e
para todo
.
iii) Calcule explicitamente os polinômios
.
iv) Mostre que
v) Mostre que
.
vi) Mostre que
e
.
Obs. Os números
são conhecidos como números de Bernoulli.
ii) Mostre que
iii) Calcule explicitamente os polinômios
iv) Mostre que
vi) Mostre que
Passo 1
O enunciado nos apresenta a geração dos chamados polinômios de Bernoulli
pela função geradora
e pede, em sequência:
i) mostrar essa expansão usando e a identidade
i) mostrar essa expansão usando
ii) provar
e
;
iii) calcular explicitamente ;
iv) mostrar para
;
v) provar ;
vi) deduzir valores em .
Vamos usar expansão de séries, diferenciação termo a termo e propriedades da função geradora.
iii) calcular explicitamente
iv) mostrar
v) provar
vi) deduzir valores em
Vamos usar expansão de séries, diferenciação termo a termo e propriedades da função geradora.
Passo 2
Para a parte i) usamos
logo
Expandindo
, vem
Comparando com
, identificamos
Passo 3
Para a parte ii) diferenciamos sob o sinal de soma em
Como
, obtemos
Pelo confronto de coeficientes surge
Passo 4
Para calcular
basta usar
e a recorrência
, determinando constantes pela condição
(ou valores conhecidos em
):
1.
:
Como
dá
.
Portanto
Portanto
2.
:
Usando
ou
resulta
.
Logo
Logo
3.
:
e
dá
.
4.
:
e
dá
.
Passo 5
Para a parte iv) note que
Mas por definição
Logo
e para
Passo 6
Para a parte v) calculamos
Expandindo
resulta
Passo 7
Para a parte vi) use
.
Se é ímpar então
.
Em e
segue
Se
Em
mas sabe-se que
então ambos são zero.
Se é par então
.
Em dá
Se
Em
Resposta
i) A expansão é
com
ii)
iii)
iv)
v)
vi)