— Questão 32. Seja
\left(p_{n}\right) a sequência as potências perfeitas, i.e.
P=\{1,4,8,9,16,25,27,32,36,49,64,81,100,121,125,144,169, \ldots, \ldots\}
Defina
N=\mathbb{N} \backslash P o conjunto dos números naturais que não são potências perfeitas.
N=\{2,3,5,6,7,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,24,26,28, \ldots\}
Considere as igualdades abaixo
\begin{aligned} \sum_{n \geq 2} \frac{1}{p_{n}-1} & =\sum_{x \in N} \sum_{k \geq 2} \frac{1}{x^{k}-1} \\\ & =\sum_{x \in N} \sum_{k \geq 2} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{x^{n k}}=\sum_{k \geq 2} \sum_{j \geq 2} \frac{1}{j^{k}} \\\ & =\sum_{j \geq 2} \frac{1}{j(j-1)}=\sum_{j \geq 2}\left(\frac{1}{j-1}-\frac{1}{j}\right)=1 \end{aligned}
i) Justifique cada igualdade.
ii) Faça uma algortimo para calcular numericamente essa soma.
iii) Calcule numericamente a soma
\sum_{n \geq 1} \frac{1}{p_{n}+1}=\frac{\pi^{2}}{3}-\frac{5}{2}
iv) Calcule numericamente a soma
\sum_{n \geq 1} \frac{1}{p_{n}}=0,874463 \ldots
" …paciência e persistência vem em primeiro lugar, pois quase sempre é preciso retomar o caminho, deixar trilhas seguidas durante anos, começar tudo de novo."