Questão 31. Seja
I_{n}=\int \frac{a^{2} d x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n}}
Mostre que
I_{n}=\frac{x}{2(n-1)\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n-1}}+\frac{2 n-3}{2(n-1)} I_{n-1}, \quad I_{1}=a \arctan (x / a)

Passo 1

O enunciado pede uma fórmula de redução para
I_{n}=\int \frac{a^{2}\,dx}{\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{n}},
mostrando que
I_{n}=\frac{x}{2(n-1)\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)}\,I_{n-1}, \quad I_{1}=a\arctan\!\bigl(x/a\bigr).
O conteúdo principal é técnica de redução em integrais por partes e diferenciar potências de x^{2}+a^{2}.

Passo 2

Escrevemos
a^{2}=(x^{2}+a^{2})-x^{2}
para dividir a integral:
I_{n} =\int\frac{(x^{2}+a^{2})\,dx}{(x^{2}+a^{2})^{n}} -\int\frac{x^{2}\,dx}{(x^{2}+a^{2})^{n}} =I_{n-1}-J,
onde definimos
J=\int\frac{x^{2}\,dx}{(x^{2}+a^{2})^{n}}.

Passo 3

Notamos que
\frac{d}{dx}\Bigl[\,(x^{2}+a^{2})^{-(n-1)}\Bigr] =-(n-1)\,2x\,(x^{2}+a^{2})^{-n},
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\frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{n}} =-\frac{1}{2(n-1)}\, \frac{d}{dx}\Bigl[(x^{2}+a^{2})^{-(n-1)}\Bigr].

Passo 4

Reescrevemos
J=\int x\cdot\frac{x\,dx}{(x^{2}+a^{2})^{n}} =-\frac{1}{2(n-1)}\int x\,d\bigl[(x^{2}+a^{2})^{-(n-1)}\bigr].
Agora integramos por partes em
\int x\,dA, com A=(x^{2}+a^{2})^{-(n-1)}:
\int x\,dA = xA - \int A\,dx.

Passo 5

Aplicando isso a J obtemos
J =-\frac{1}{2(n-1)}\Bigl[ x\,(x^{2}+a^{2})^{-(n-1)} -\int (x^{2}+a^{2})^{-(n-1)}\,dx \Bigr] =-\frac{x}{2(n-1)(x^{2}+a^{2})^{n-1}} +\frac{1}{2(n-1)}\,I_{n-1}.

Passo 6

Voltando a
\displaystyle I_{n}=I_{n-1}-J, temos
I_{n} =I_{n-1} -\Bigl( -\frac{x}{2(n-1)(x^{2}+a^{2})^{n-1}} +\frac{1}{2(n-1)}\,I_{n-1} \Bigr).
Isso dá
I_{n} =\frac{x}{2(n-1)(x^{2}+a^{2})^{n-1}} +\Bigl(1-\frac{1}{2(n-1)}\Bigr)I_{n-1} =\frac{x}{2(n-1)(x^{2}+a^{2})^{n-1}} +\frac{2n-3}{2(n-1)}\,I_{n-1}.

Passo 7

Finalmente, para n=1 basta integrar
I_{1} =\int\frac{a^{2}\,dx}{x^{2}+a^{2}} =a^{2}\int\frac{dx}{x^{2}+a^{2}} =a^{2}\cdot\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(x/a\bigr) =a\arctan\!\bigl(x/a\bigr).

Resposta

I_{n} =\frac{x}{2(n-1)\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{n-1}} +\frac{2n-3}{2(n-1)}\,I_{n-1}, \quad I_{1}=a\arctan\!\bigl(x/a\bigr).

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