Questão (30 pontos): Calcule a Transformada de Laplace Inversa das seguintes funções:
Y(s)=\frac{s}{(s-2)(s-3)(s-6)}
Y(s)=\frac{s}{(s-2)(s-3)(s-6)}
Passo 1
O enunciado dá a função de
e pede para calcular a transformada de Laplace inversa, ou seja encontrar
para
.
Informações relevantes dadas: a função é racional e o denominador já está fatorado em . A função é própria (grau do numerador menor que o do denominador).
Informações relevantes dadas: a função é racional e o denominador já está fatorado em
Passo 2
Escolha do método: vamos usar decomposição em frações parciais porque
é uma razão de polinômios com polos simples reais distintos (
). Isso facilita aplicar a linearidade da transformada inversa e a fórmula básica
Explicando rápido: decompor
em somas do tipo
nos permite inverter cada termo isoladamente usando a fórmula acima (graças à linearidade:
).
Passo 3
Montamos a decomposição em frações parciais com constantes
:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Como os polos são simples, podemos usar o método “cover-up” (tapa-buraco) para obter
de forma rápida: avaliar a identidade nos pontos
.
Passo 4
Calcular
usando
:
Passo 5
Calcular
usando
:
Passo 6
Calcular
usando
:
Passo 7
Agora escrevemos a decomposição completa com os valores encontrados:
Simplificando a escrita:
Passo 8
Aplicamos a transformada de Laplace inversa termo a termo, lembrando que
Portanto
(Faz sentido verificar rapidamente
, que coincide com o teorema do valor inicial:
. Isso é um pequeno cheque de consistência.)