Questão (30 pontos): Calcule a Transformada de Laplace Inversa das seguintes funções:
Y(s)=\frac{s}{(s-2)(s-3)(s-6)}

Passo 1

O enunciado dá a função de s
Y(s)=\frac{s}{(s-2)(s-3)(s-6)}
e pede para calcular a transformada de Laplace inversa, ou seja encontrar y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} para t\ge 0.
Informações relevantes dadas: a função é racional e o denominador já está fatorado em (s-2)(s-3)(s-6). A função é própria (grau do numerador menor que o do denominador).

Passo 2

Escolha do método: vamos usar decomposição em frações parciais porque Y(s) é uma razão de polinômios com polos simples reais distintos ( s=2,3,6). Isso facilita aplicar a linearidade da transformada inversa e a fórmula básica
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Explicando rápido: decompor Y(s) em somas do tipo \dfrac{A}{s-2}+\dfrac{B}{s-3}+\dfrac{C}{s-6} nos permite inverter cada termo isoladamente usando a fórmula acima (graças à linearidade: \mathcal{L}^{-1}\{A F(s)+B G(s)\}=A f(t)+B g(t)).

Passo 3

Montamos a decomposição em frações parciais com constantes A,B,C:
\frac{s}{(s-2)(s-3)(s-6)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s-3}+\frac{C}{s-6}.
Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s-3)(s-6) obtemos a identidade polinomial
s = A(s-3)(s-6)+B(s-2)(s-6)+C(s-2)(s-3).
Como os polos são simples, podemos usar o método “cover-up” (tapa-buraco) para obter A,B,C de forma rápida: avaliar a identidade nos pontos s=2,3,6.

Passo 4

Calcular A usando s=2:
\text{ ao substituir } s=2:\quad 2 = A(2-3)(2-6) = A(-1)(-4)=4A \implies A=\frac{1}{2}.

Passo 5

Calcular B usando s=3:
\text{ ao substituir } s=3:\quad 3 = B(3-2)(3-6)=B(1)(-3)=-3B \implies B=-1.

Passo 6

Calcular C usando s=6:
\text{ ao substituir } s=6:\quad 6 = C(6-2)(6-3)=C(4)(3)=12C \implies C=\frac{1}{2}.

Passo 7

Agora escrevemos a decomposição completa com os valores encontrados:
\frac{s}{(s-2)(s-3)(s-6)}=\frac{1/2}{s-2}+\frac{-1}{s-3}+\frac{1/2}{s-6}.
Simplificando a escrita:
Y(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s-3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-6}.

Passo 8

Aplicamos a transformada de Laplace inversa termo a termo, lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}\quad\text{e que a transformada é linear.}é
Portanto
y(t)=\frac{1}{2}e^{2t}-e^{3t}+\frac{1}{2}e^{6t},\qquad t\ge 0.
(Faz sentido verificar rapidamente y(0)=\tfrac{1}{2}-1+\tfrac{1}{2}=0, que coincide com o teorema do valor inicial: \lim_{s\to\infty}sY(s)=0. Isso é um pequeno cheque de consistência.)

Resposta

y(t)=\frac{1}{2}e^{2t}-e^{3t}+\frac{1}{2}e^{6t},\qquad t\ge 0

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