Questão (30 pontos): Calcule a Transformada de Laplace Inversa das seguintes funções:
F(s)=\frac{e^{-s}}{s(s+1)}
F(s)=\frac{e^{-s}}{s(s+1)}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace inversa da função
Informações relevantes que temos:
- A função no domínio de
é . - Há um fator exponencial
multiplicando uma razão racional . - O objetivo é encontrar
, ou seja, a função no domínio do tempo que corresponde a .
Passo 2
Estratégia geral (sem ainda apresentar o resultado final): vamos separar o problema em duas partes:
- Encontrar a transformada inversa de
. Vou chamar essa função no tempo de , isto é,
- Usar a propriedade de deslocamento no tempo (teorema do degrau/atraso): se
então
para
, onde
é a função degrau de Heaviside. A prova curta dessa propriedade vem direto da definição da transformada de Laplace: começamos com
Fazendo a mudança de variável
obtemos
Portanto, inversamente,
No nosso caso
e
. Assim, depois de achar
aplicaremos essa propriedade com
.
Passo 3
Calcular
por frações parciais.
Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Comparando coeficientes (ou substituindo valores de
):
- Igualando os termos constantes:
. - Igualando os coeficientes de
: → .
Logo
Agora usamos transformadas conhecidas:
-
para . Isso vem de . -
pois .
Pela linearidade da transformada inversa,
para
.
Passo 4
Aplicar o teorema do deslocamento no tempo com
. Já mostramos que
tem inversa
. Pela propriedade de deslocamento,
Portanto a inversa buscada
é
multiplicando
. (Não vou repetir aqui a forma explícita final, que está na seção de resposta.)
Passo 5
Verificação rápida (opcional para sua segurança): se você quiser conferir, aplique a transformada de Laplace em
e faça a mudança de variável
; você recupera exatamente
. Isso garante que o procedimento está correto. Dica para a prova: quando aparecer
multiplicando uma função racional, pense imediatamente em deslocamento no tempo; e sempre tente decompor a parte racional por frações parciais.