Questão 2. (30 pontos) Um circuito
é sujeito a uma fonte de tensão contínua, com potencial
constante. Na malha que contém a bateria, há uma chave que liga durante um período
e na sequência desliga. Inicialmente o capacitor está descarregado, e
circuito sem corrente. A corrente do circuito,
satisfaz o PVI
Use a transformada de Laplace para encontrar a solução da EDO (1), assumindo
0. Esboce seu gráfico.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo isso veio do enunciado).
- Dado o PVI
com constantes
,
,
,
.
- O enunciado pede: usar a transformada de Laplace para encontrar a solução
(para ) e esboçar o gráfico da corrente no tempo.
Passo 2
Pequena aula sobre a transformada de Laplace e propriedades úteis (sem pular etapas).
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é
- Propriedade da derivada (PVI com condição inicial): se
e é finito então
Aqui
é a variável da transformada (complexa), e
é a imagem de
.
- Transformada do impulso de Dirac: para
com ,
Em particular
e
.
- Teorema do deslocamento no tempo (shifting): se
então
onde
é a função unit step (Heaviside) que vale
para
e
para
. Essa propriedade é a que nos permite tratar termos multiplicados por
.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação dada, passo a passo.
- Denotemos
e também seja
para simplificar escrita (logo
).
- Tomando Laplace em ambos os lados da equação:
- Usando as propriedades:
e ; , . Substituindo:
- Agrupando
:
- Portanto
Passo 4
Preparar a inversa: escrever
como soma de termos cuja inversa conhecemos.
- Escrevemos
- Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Sabemos que
e, pela propriedade de deslocamento,
- Logo a transformada inversa de
é
Passo 5
Escrever a solução numa forma explícita e em partes (útil para desenhar e interpretar).
- Substituindo
de volta, a solução pode ser escrita como
- Em forma por partes (mais clara):
- Verificações rápidas e interpretação física/matemática:
- Imediatamente após
(ou seja ) a corrente salta de para
isso porque o impulso empurra a corrente instantaneamente — a transformada de Laplace tratou corretamente esse salto. - Para
a corrente decai exponencialmente a partir de com constante de tempo . - No instante
há um impulso negativo que causa uma queda instantânea da corrente de magnitude . De fato
- Para
a corrente continua a decair exponencialmente a partir de e tende a zero quando .
- Imediatamente após
Passo 6
Esboço do gráfico (descrição para desenhar à mão — desenhe e respire fundo, você consegue).
- No eixo vertical coloque
(corrente) e no horizontal . - Em
a curva faz um salto instantâneo de para . - Para
a curva é uma exponencial decrescente . - Em
a curva tem uma queda instantânea de amplitude ; portanto o valor imediatamente após é negativo (porque ), igual a . - Para
a curva continua decaindo exponencialmente em direção a zero, com a mesma constante de tempo . - O gráfico lembra duas parcelas de exponencial juntadas por saltos (impulsos) em
e .