Questão 1. (15 pontos) Encontre a transformada inversa da seguinte função
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa da função
Informações e perguntas claras:
- Dado:
. - Pergunta: encontrar
, ou seja, a função no domínio do tempo cuja transformada de Laplace é .
Passo 2
Primeira ideia prática (sem calcular ainda): o fator
indica um deslocamento no tempo (teorema do deslocamento). Vou separar a parte com
e inverter a parte racional restante:
Lembrete do teorema do deslocamento: se
, então
onde
é a função degrau (Heaviside) que vale
para
e
para
. Aqui
. Então, após achar
, teremos
Passo 3
Vamos fatorar o polinômio do denominador para facilitar frações parciais:
Portanto
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais procurando constantes
tais que
Multiplicando por
obtemos a identidade
Passo 5
Determinar
usando valores convenientes de
.
- Tomando
:
- Tomando
:
- Tomando
:
Passo 6
Portanto a decomposição é
Passo 7
Agora aplicamos transformadas inversas básicas. Lembrando as fórmulas padrão:
Aqui a variável
é o tempo (domínio onde queremos
).
Aplicando termo a termo:
válido para
.
Passo 8
Agora aplicamos o teorema do deslocamento (porque
com
):
Passo 9
Substituindo
explicitamente:
Esta é a resposta final: para
tem-se
(por causa do degrau) e para
tem-se a expressão entre parênteses avaliada em
.