Questão 1. (15 pontos) Encontre a transformada inversa da seguinte função
F(s)=\frac{(s-2) e^{-s}}{s\left(s^{2}+3 s-4\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa da função
F(s)=\frac{(s-2)e^{-s}}{s\left(s^{2}+3s-4\right)}.
Informações e perguntas claras:
  • Dado: \,F(s)=\dfrac{(s-2)e^{-s}}{s(s^{2}+3s-4)}.
  • Pergunta: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, ou seja, a função no domínio do tempo cuja transformada de Laplace é F(s).

Passo 2

Primeira ideia prática (sem calcular ainda): o fator e^{-s} indica um deslocamento no tempo (teorema do deslocamento). Vou separar a parte com e^{-s} e inverter a parte racional restante:
F(s)=e^{-s}\cdot G(s),\qquad G(s)=\frac{s-2}{s(s^{2}+3s-4)}.
Lembrete do teorema do deslocamento: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=u(t-a)\,f(t-a),
onde u(t-a) é a função degrau (Heaviside) que vale 0 para t<a e 1 para t\ge a. Aqui a=1. Então, após achar g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}, teremos
f(t)=u(t-1)\,g(t-1).

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio do denominador para facilitar frações parciais:
s^{2}+3s-4=(s+4)(s-1).
Portanto
G(s)=\frac{s-2}{s(s+4)(s-1)}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais procurando constantes A,B,C tais que
\frac{s-2}{s(s+4)(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{s+4}.
Multiplicando por s(s+4)(s-1) obtemos a identidade
s-2=A(s-1)(s+4)+B\,s(s+4)+C\,s(s-1).

Passo 5

Determinar A,B,C usando valores convenientes de s.
  • Tomando s=0:
-2 = A(-1)(4) \quad\Rightarrow\quad -2 = -4A \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.
  • Tomando s=1:
-1 = B\cdot 1\cdot 5 \quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{1}{5}.
  • Tomando s=-4:
-6 = C\cdot(-4)\cdot(-5) \quad\Rightarrow\quad -6 = 20 C \quad\Rightarrow\quad C=-\tfrac{3}{10}.

Passo 6

Portanto a decomposição é
G(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{s+4}.

Passo 7

Agora aplicamos transformadas inversas básicas. Lembrando as fórmulas padrão:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Aqui a variável t é o tempo (domínio onde queremos g(t)).
Aplicando termo a termo:
g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}=\tfrac{1}{2}\cdot 1-\tfrac{1}{5}e^{t}-\tfrac{3}{10}e^{-4t},
válido para t\ge 0.

Passo 8

Agora aplicamos o teorema do deslocamento (porque F(s)=e^{-s}G(s) com a=1):
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\{e^{-s}G(s)\}=u(t-1)\,g(t-1).

Passo 9

Substituindo g(t-1) explicitamente:
f(t)=u(t-1)\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{5}e^{\,t-1}-\tfrac{3}{10}e^{-4(t-1)}\right).
Esta é a resposta final: para t<1 tem-se f(t)=0 (por causa do degrau) e para t\ge 1 tem-se a expressão entre parênteses avaliada em t-1.

Resposta

f(t)=u(t-1)\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{5}e^{\,t-1}-\tfrac{3}{10}e^{-4(t-1)}\right)

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